Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x³-x²-x+2 на отрезке [-1; 2]

f(x)=x³-x²-x+2, 
f'(x)=3x²-2x-1,
f'(x)=0, 3x²-2x-1=0, 
D₁=4,
x₁=-¹/₃, x₂=1,
f(-1)=1,
f(-¹/₃)=2⁵/₂₇,
f(1)=1,
f(2)=4.
max y = 4, min y = 1, x∈[-1;2]

Хорошо, давайте начнем решать задачу.

Для начала, нам нужно найти значения функции f(x) на концах отрезка [-1; 2], то есть для x = -1 и x = 2.

1. Когда x = -1:
Подставим значение -1 в функцию f(x):
f(-1) = (-1)³ - (-1)² - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1
Таким образом, значение функции при x = -1 равно 1.

2. Когда x = 2:
Подставим значение 2 в функцию f(x):
f(2) = (2)³ - (2)² - (2) + 2 = 8 - 4 - 2 + 2 = 4
Значение функции при x = 2 равно 4.

Теперь, найдем точки, где функция может достигать наибольшего и наименьшего значения на отрезке [-1; 2]. Для этого найдем производную функции и рассмотрим ее поведение на отрезке.

1. Найдем производную функции f'(x):
f'(x) = 3x² - 2x - 1

2. Найдем точки, в которых производная обращается в ноль:
3x² - 2x - 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта.
D = b² - 4ac = (-2)² - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два корня:
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-(-2) + √16) / (2⋅3) = (2 + 4) / 6 = 1
x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-(-2) - √16) / (2⋅3) = (2 - 4) / 6 = -1/3

Получили, что производная обращается в ноль в точках x = 1 и x = -1/3.

3. Теперь проанализируем поведение функции перед и после этих точек с помощью таблицы знаков производной:

x < -1/3 | -1/3 < x < 1 | x > 1
-----------------------------------------------------
f'(x) < 0 | f'(x) > 0 | f'(x) > 0
f(x) убывает| f(x) возрастает| f(x) возрастает

Таким образом, наша функция убывает на отрезке (-∞; -1/3] и возрастает на отрезке [-1/3; 1] и [1; +∞].

Так как мы знаем значения функции на концах отрезка и знаем, что она возрастает на отрезке [-1/3; 1], то наименьшим значением функции на отрезке [-1; 2] будет значение функции при x = -1, т.е. f(-1) = 1.

Наибольшим значением функции на отрезке [-1; 2] будет значение функции при x = 2, т.е. f(2) = 4.

Итак, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 2] равно 4, а наименьшее значение равно 1.