Найти множество значений функции
$f(x) = arccos( \frac{ \cos(x) }{ \cos(x) + 1 } )$

Ответы

snagaytsev1 06.10.2020 02:55

$D[f(x)] \in \left[\dfrac{\pi}{3}, \pi \right]$

Пошаговое объяснение:

Сначала разберёмся с базовыми областью определения и множеством значений арккосинуса:

Арккосинус принимает значения только от -1 до +1: $E[\arccos{x}] \in [-1, 1]$ .

Арккосинус -- монотонная функция, которая достигает в краевых точка следующих значений: $\arccos{(-1)} = \pi; \arccos{(1)} = 0.$ Значит множество значений арккосинуса не может выходить следующих рамок:

$D[\arccos{x}] \in [0, \pi]$

Далее, перейдём к нашей функции $f(x) = \arccos{\dfrac{\cos{x}}{\cos{x}+1}}$ . Для того, чтобы понять, какие значения может иметь данная функция, нужно понять, какие значения может иметь функция $g(x) = \dfrac{\cos{x}}{\cos{x}+1}$ . Так как E[f(x)] = D[g(x)] .

У функции g(x) существуют асимптоты $x = \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ , при приближении к которым функция стремится к $-\infty$ (решение уравнения $\cos{x}+1 = 0$ ). Значит нам уже понятно, что минимальное значение функции g(x) стремится к минус бесконечности.

Найдём экстремальные точки функции g(x) (на самом деле максимальные, но желательно это формально доказать). Для этого приравняем производную g(x) к 0.

Найдём g'(x) :

$g'(x) = - \dfrac{\sin{x}}{(\cos{x}+1)^2}$

Найдём экстремальные точки x^* :

$g'(x^*) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \sin{x^*} = 0$

Принимая во внимание ОДЗ, решением остаются точки $x^* = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

Эти точки являются экстремальными. Докажем, что они являются максимумами. Для этого найдём вторую производную g(x) :

$g''(x) = \dfrac{\cos{x}-2}{(\cos{x}+1)^2}$

В числителе стоит всегда отрицательная величина, в знаменателе -- всегда положительная. Значит, g''(x) всегда отрицательна. Отсюда следует, что функция g(x) является вогнутой, и для неё ВСЕ экстремальные точки являются максимумами.

Значит $x^* = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ -- максимумы.

Значения функции в этих точках: $g(x^*) = \dfrac{1}{2}$

Получается, что $D[g(x)] \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2} \right ]$ .

То есть область определения f(x) следующая:

$E[f(x)] \in \left( -\infty, \dfrac{1}{2} \right]$ .

Однако мы знаем, что область определения арккосинуса не может выходить за пределы [-1, 1] . Значит придётся пересечь эти множества и в итоге окажется: