Найти множество общих точек плоскостей х+у+2z=8, х– у+2z=8 и х+у+2z=0.

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1. Выпишем уравнения плоскостей:
Первое уравнение: x + y + 2z = 8
Второе уравнение: x - y + 2z = 8
Третье уравнение: x + y + 2z = 0

2. Заметим, что первое и второе уравнение имеют одинаковую сумму коэффициентов при x, y и z. Это значит, что плоскости, описываемые этими уравнениями, параллельны друг другу.

3. Посмотрим теперь на третье уравнение. Оно имеет противоположные знаки перед коэффициентами при x и y, но сумма коэффициентов при x, y и z равна 0. Это говорит нам о том, что третья плоскость пересекает первые две плоскости.

4. Таким образом, первые две плоскости образуют пару параллельных плоскостей, а третья плоскость пересекает эти параллельные плоскости.

5. Для того чтобы найти точки пересечения третьей плоскости с первыми двумя, мы можем решить систему уравнений, состоящую из третьего уравнения и каждого из первых двух уравнений по очереди.

5.1. Система уравнений для первого уравнения и третьего уравнения:
x + y + 2z = 8
x + y + 2z = 0

Вычтем второе уравнение из первого:
(x + y + 2z) - (x + y + 2z) = 8 - 0
0 = 8
Это неверное уравнение, значит, система не имеет решений.

5.2. Система уравнений для второго уравнения и третьего уравнения:
x - y + 2z = 8
x + y + 2z = 0

Вычтем второе уравнение из первого:
(x - y + 2z) - (x + y + 2z) = 8 - 0
-2y = 8
y = -4

Подставим значение y в любое из двух уравнений:
x + (-4) + 2z = 8
x - 4 + 2z = 8
x = 12 - 2z

Таким образом, мы получили параметрическое представление множества общих точек третьей плоскости с двумя первыми плоскостями:
x = 12 - 2z
y = -4
z - любое действительное число.

Таким образом, множество общих точек плоскостей x + y + 2z = 8, x - y + 2z = 8 и x + y + 2z = 0 представляет собой линию в трехмерном пространстве, задаваемую параметрически как x = 12 - 2z, y = -4, где z - любое действительное число.