Найти массу дуги линии L: ρ=5cosϕ(0≤ϕ≤π), если плотность линии γ=ϕ

Для начала, давайте разберемся, что представляет собой данное уравнение.

У нас есть линия L, заданная уравнением ρ = 5cosϕ, где ρ - расстояние от произвольной точки на линии до начала координат, а ϕ - угол между линией и осью x. Данный вид уравнения представляет собой параметрическое задание кривой в полярных координатах.

Также задана плотность линии γ, которая зависит от угла ϕ.

Наша цель - найти массу дуги линии L, то есть найти массу отрезка линии от угла 0 до угла π.

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления массы криволинейного сегмента:

m = ∫ γ ds,

где m - масса сегмента, γ - плотность линии, ds - элемент длины кривой L.

Для вычисления элемента длины ds, мы можем воспользоваться формулой для длины дуги в полярных координатах:

ds = √(ρ^2 + (dρ/dϕ)^2) dϕ.

Подставим формулы в наше уравнение:

m = ∫ γ √(ρ^2 + (dρ/dϕ)^2) dϕ.

Теперь нам необходимо выразить ρ и dρ/dϕ через заданные уравнения.

Из уравнения ρ = 5cosϕ получаем, что ρ = 5cosϕ.

Для вычисления dρ/dϕ, мы должны продифференцировать уравнение по ϕ:

d(ρ)/d(ϕ) = d(5cosϕ)/d(ϕ) = -5sinϕ.

Теперь подставим значения в нашу формулу:

m = ∫ ϕ √(25cos^2ϕ + 25sin^2ϕ) dϕ.

Мы видим, что внутри корня присутствуют sin^2ϕ и cos^2ϕ. Используя формулу тригонометрии sin^2ϕ + cos^2ϕ = 1, мы можем упростить выражение:

m = ∫ ϕ √(25) dϕ.

m = 5 ∫ ϕ dϕ.

Теперь проинтегрируем:

m = 5 (ϕ^2/2).

Теперь мы можем подставить пределы интегрирования 0 и π:

m = 5 ((π^2)/2 - (0^2)/2).

m = 5 (π^2)/2.

Итак, масса дуги линии L равна (5π^2)/2.