Найти линии уровня поверхности z=1/(x^2+y^2). найти градиент в точке м(1; 0). показать, что он перпендикулярен соответствующей линии уровня.

через точку  М(1; 0) проходит линия уровня вида z0=1/(x^2+y^2)
при подстановке х=1 у=0 получаем z0=1/(1^2+0^2)=1
через точку  М(1; 0) проходит линия уровня 1=1/(x^2+y^2) или x^2+y^2 =1 - окружность с центром в начале координат и радиусом 1

найдем уравнение касательной в точке
дифференциал
2xdx+2ydy =0
при подстановке х=1 у=0 получаем
2*1*dx+2*0*dy =0
dx = 0
х = const = 1 - уравнение касательной
единичный вектор касательной имеет вид A = (0,1)

найдем градиент
dz/dx = d/dx(1/(x^2+y^2)) =-1/(x^2+y^2)^2 d/dx(x^2+y^2) = -2x/(x^2+y^2)^2 
dz/dу = d/dу(1/(x^2+y^2)) =-1/(x^2+y^2)^2 d/dу(x^2+y^2) = -2у/(x^2+y^2)^2 
при подстановке х=1 у=0 получаем
grad(z) = G = (-2;0)
скалярное произведение векторов А и G
AG = 0*(-2)+1*0=0 - значит вектор касательной к линии уровня в точке  М(1; 0) ( а значит и сама линия уровня, проходящая через точку   М(1; 0)) перпендикулярен к вектору градиента  в точке  М(1; 0)