Найти кривую, проходящую через точку А(1;4), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Оу.

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать знания о производной кривой и её уравнение.

Для начала, обозначим уравнение искомой кривой: y = f(x)

Хотим, чтобы у нас была касательная, которая делит отрезок между точкой касания и осью абсцисс пополам. Она будет проходить через точку (x_0, h/2), где (x_0, f(x_0)) - точка касания кривой и оси абсцисс, а h - высота кривой в этой точке.

Используем формулу для уравнения касательной:
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

Так как касательная проходит через точку (x_0, h/2), подставляем соответствующие координаты:
h/2 - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

Для удобства дальнейшего решения, заменим x_0 на 1. Почему так? Поскольку точка А(1;4) уже дана в условии задачи, мы можем использовать ее координаты и заменить x_0 на 1.

h/2 - f(1) = f'(1)(x - 1)

Следующий шаг - найти производную функции f(x), используя её уравнение. Давайте предположим, что f(x) - полином.

f(x) = ax^2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b

Теперь подставим x_0 = 1 в уравнение и найдем значение искомой производной:

h/2 - f(1) = f'(1)(x - 1)
h/2 - a - b - c = 2a(x - 1) + b(x - 1)
h/2 - a - b - c = 2ax - 2a + bx - b

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем:

2ax + bx = 0
2a - a - b = h/2 - a - b - c

Отсюда нетрудно найти значения a и b:

2ax + bx = 0 => 2a + b = 0 => b = -2a
2a - a - b = h/2 - a - b - c => a - c = h/2

Подставим значение b = -2a во второе уравнение:

a - c = h/2 => a + 2a - c = h/2 => 3a - c = h/2

Теперь сравним два полученных уравнения:

3a - c = h/2 (*)
a - c = h/2 (**)

Вычтем уравнение (**) из уравнения (*), чтобы избавиться от c:

(3a - c) - (a - c) = (h/2) - (h/2)
2a = 0

Отсюда следует, что a = 0. Подставим это значение в уравнение (*):

3a - c = h/2 => -c = h/2

Таким образом, получаем a = 0 и c = -h/2.

Теперь мы найдем с помощью условия задачи значение h. Поскольку отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Оу, то h будет равно сумме координат точек (0, h/2) и (0, -h/2). В данной задаче h/2 = 4, следовательно, h = 8.

Подставим найденные значения a, b и c в уравнение f(x):

f(x) = ax^2 + bx + c => f(x) = 0x^2 + 0x + (-8/2) => f(x) = -4

Таким образом, искомая кривая будет задана уравнением y = -4.

Ответ: Искомая кривая, проходящая через точку А(1;4), будет иметь уравнение y = -4.