Найти координаты единичного вектора, перпендикулярного к плоскости
A(1,-1,4), B(2,5,1), C(2,1,1).

Будем считать, что точки A(1,-1,4), B(2,5,1), C(2,1,1) даны для определения уравнения плоскости, проходящей через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1 y - (-1) z - 4

2 - 1 5 - (-1) 1 - 4

2 - 1 1 - (-1) 1 - 4

 = 0

x - 1 y - (-1) z - 4

1 6 -3

1 2 -3

 = 0

(x - 1)  (6·(-3)-(-3)·2)  -  (y - (-1))  (1·(-3)-(-3)·1)  +  (z - 4)  (1·2-6·1)  = 0

(-12) (x - 1)  + 0 (y - (-1))  + (-4) (z - 4)  = 0

 - 12x - 4z + 28 = 0.

Можно сократить на -4 и получим уравнение 3x + z - 7 = 0.

Нормальный (это перпендикулярный) вектор этой плоскости равен:

n = (3; 0 ; 1)  модуль (длина) его равна √(9+0+1) = √10.

Отсюда получаем путём нормирования единичный вектор:

n1 = ((3/√10); 0; (1/√10).