Найти коэффициенты m и n квадратного трехчлена x^2 + mx + n , если известно, что его остатки при делении на двучлены x - m и x - n равны m и n соответственно.

Чтобы найти коэффициенты m и n квадратного трехчлена x^2 + mx + n, мы можем воспользоваться методом деления многочленов. Для этого нам нужно разделить заданный трехчлен на каждый из двучленов x - m и x - n и проанализировать полученные остатки.

Для начала, разделим трехчлен x^2 + mx + n на x - m:

(x^2 + mx + n) : (x - m)

x + m
___________________________
x - m | x^2 + mx + n
- (x^2 - mx)

2mx + n
___________________________
-(2mx - n)

Таким образом, остаток при таком делении равен 2mx - n. Мы знаем, что этот остаток равен m, поэтому мы можем записать уравнение:

2mx - n = m

Далее, разделим трехчлен x^2 + mx + n на x - n:

(x^2 + mx + n) : (x - n)

x + n
___________________________
x - n | x^2 + mx + n
- (x^2 - nx)

mx + (n - nx)
___________________________
- (mx - (n - nx))

Таким образом, остаток при этом делении равен mx - (n - nx) = mx - n + nx. Мы знаем, что этот остаток равен n, поэтому мы можем записать уравнение:

mx - n + nx = n

Из двух уравнений, полученных при делении на оба двучлена, мы можем составить систему уравнений:

2mx - n = m
mx - n + nx = n

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем привести ее к более удобному виду. Для этого сгруппируем члены с неизвестными m и n:

2mx - n - m = 0
mx - n + nx - n = 0

Приведем подобные члены:

2mx - m - n = 0
mx + (nx - 2n) = 0

Теперь, чтобы избавиться от непроизведенных членов, мы можем поделить каждое уравнение на соответствующий коэффициент:

2mx - m - n = 0 : m
mx + (nx - 2n) = 0 : n

Получаем:

2x - 1 - n/m = 0
x + (n/m)x - 2n/m = 0

Теперь мы можем объединить члены с неизвестными m и n в одно уравнение:

2x + (n/m - 1) + (n/m)x - 2n/m = 0

Приведем подобные члены:

2x + (2n/m - 1) + (n/m)x = 2n/m

Чтобы избавиться от дробей, мы можем домножить оба выражения на m:

2mx + 2n - m + nx = 2n

Сгруппируем члены с неизвестными m и n:

(2m + n)x + 2n - m = 2n

Сравнивая коэффициенты при x и свободные члены слева и справа от равенства, получаем систему уравнений:

2m + n = 0
2n - m = 0

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого мы можем, например, представить второе уравнение как m = 2n и подставить его в первое уравнение:

2(2n) + n = 0

Раскроем скобки:

4n + n = 0

Складываем коэффициенты при n:

5n = 0

Разделим обе части на 5:

n = 0

Теперь, зная значение n, мы можем найти значение m, подставив его в одно из уравнений:

2n - m = 0

Подставляем n = 0:

2(0) - m = 0

Упрощаем:

-m = 0

Меняем знак на обеих сторонах:

m = 0

Таким образом, мы нашли значения коэффициентов m = 0 и n = 0 для заданного квадратного трехчлена x^2 + mx + n при условии, что остатки при делении на двучлены x - m и x - n равны m и n соответственно.