Найти экстремумы функций двух переменных z = x3 – 8у3 – 6ху + 1.

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам разобраться с этим вопросом.

Для начала, давайте вспомним, что такое экстремумы функции. Экстремумы - это точки, где функция достигает своих минимальных или максимальных значений.

Теперь, чтобы найти экстремумы функции двух переменных z = x3 – 8у3 – 6ху + 1, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем частные производные функции по каждой переменной (х и у).
Для этого возьмем производные по очереди, при этом считая другую переменную-константой:
dz/dx = 3x^2 - 6у
dz/dy = -24у^2 - 6х

2. Теперь найдем точки, где частные производные равны нулю.
Приравняем обе производные к нулю:
3x^2 - 6у = 0
-24у^2 - 6х = 0

3. Решим полученные уравнения для x и y.
Начнем с первого уравнения:
3x^2 - 6у = 0
Разделим оба выражения на 3:
x^2 - 2у = 0
x^2 = 2у
x = ± √(2у)

Теперь второе уравнение:
-24у^2 - 6х = 0
Разделим оба выражения на -6:
4у^2 + х = 0
Подставим найденное значение х из первого уравнения:
4у^2 + √(2у) = 0

4. Теперь найдем значение z в найденных точках.
Подставим значения x и y, которые мы получили на предыдущем шаге, в исходную функцию z = x^3 - 8y^3 - 6xy + 1.

5. Определим, являются ли найденные точки минимумами или максимумами, или не являются ни тем, ни другим.
Для этого воспользуемся вторыми производными. Если вторые производные положительны, то это будет минимум. Если вторые производные отрицательны, то это будет максимум. Если вторые производные равны нулю или меняют знак, то это будет седловая точка.

Перейдем к решению этой задачи:

1. Найдем частные производные функции:
dz/dx = 3x^2 - 6у
dz/dy = -24у^2 - 6х

2. Приравняем обе производные к нулю:
3x^2 - 6у = 0
-24у^2 - 6х = 0

3. Решим первое уравнение и найдем значения x:
3x^2 - 6у = 0
x^2 - 2у = 0
x^2 = 2у
x = ± √(2у)

Теперь решим второе уравнение и найдем значения y:
-24у^2 - 6х = 0
4у^2 + х = 0
Подставим найденное значение х из первого уравнения:
4у^2 + √(2у) = 0

Чтобы решить это уравнение, нам понадобится заменить √(2у) на переменную, например, назовем ее t:
4u^2 + t = 0
t = -4u^2

Теперь вернемся к нашему первому уравнению и подставим полученное значение t:
x = ± √(2у)
x = ± √(2(-4u^2))
x = ± √(-8u^2)
x = ± (i√8u)
x = ± 2i√2u

Поэтому, мы получаем 2 значения: x = 2i√2u и x = -2i√2u.

4. Подставим значения x и y в функцию z = x^3 - 8y^3 - 6xy + 1:
Подставим первое значение x = 2i√2u:
z = (2i√2u)^3 - 8u^3 - 6(2i√2u)u + 1

Упростим это выражение:
z = 8i^3u^3(2√2u) - 8u^3 - 12i√2u^2 + 1
z = -16iu^3√2 - 8u^3 - 12i√2u^2 + 1

Подставим второе значение x = -2i√2u:
z = (-2i√2u)^3 - 8u^3 - 6(-2i√2u)u + 1

Упростим это выражение:
z = -8i^3u^3(2√2u) - 8u^3 + 12i√2u^2 + 1
z = 16iu^3√2 - 8u^3 + 12i√2u^2 + 1

Получили два значения z: -16iu^3√2 - 8u^3 - 12i√2u^2 + 1 и 16iu^3√2 - 8u^3 + 12i√2u^2 + 1.

5. Определим, являются ли найденные точки минимумами или максимумами, или не являются ни тем, ни другим. Для этого найдем вторые производные и подставим значения x и y из полученных решений:

Подставим первое значение x = 2i√2u в частные производные функции:
dz/dx = 3x^2 - 6у
dz/dx = 3(2i√2u)^2 - 6у
dz/dx = 3(-8u^2) - 6у
dz/dx = -24u^2 - 6у

dz/dy = -24у^2 - 6х
dz/dy = -24у^2 - 6(2i√2u)
dz/dy = -24у^2 - 12i√2u

Подставим второе значение x = -2i√2u в частные производные функции:
dz/dx = 3x^2 - 6у
dz/dx = 3(-2i√2u)^2 - 6у
dz/dx = 3(-8u^2) - 6у
dz/dx = -24u^2 - 6у

dz/dy = -24у^2 - 6х
dz/dy = -24у^2 - 6(-2i√2u)
dz/dy = -24у^2 + 12i√2u

Подставим значения x и y в полученные производные и рассмотрим их значения:
Для первого значения x = 2i√2u:
dz/dx = -24u^2 - 6у
dz/dy = -24у^2 - 12i√2u
Подставим x = 2i√2u и y в dz/dx и dz/dy:
dz/dx = -24u^2 - 6(-24у^2 - 12i√2u)
dz/dx = -24u^2 + 144u^2 + 72i√2u
dz/dx = 120u^2 + 72i√2u

Для второго значения x = -2i√2u:
dz/dx = -24u^2 - 6у
dz/dy = -24у^2 + 12i√2u
Подставим x = -2i√2u и y в dz/dx и dz/dy:
dz/dx = -24u^2 - 6(-24у^2 + 12i√2u)
dz/dx = -24u^2 + 144u^2 - 72i√2u
dz/dx = 120u^2 - 72i√2u

Теперь рассмотрим знаки полученных вторых производных:
Для первого значения x = 2i√2u:
dz/dx = 120u^2 + 72i√2u
dz/dy = -24у^2 - 12i√2u
Оба значения положительные.

Для второго значения x = -2i√2u:
dz/dx = 120u^2 - 72i√2u
dz/dy = -24у^2 + 12i√2u
Оба значения также положительные.

Из этого следует, что найденные точки не являются ни минимумами, ни максимумами. Они являются седловыми точками.

Вот и все! Мы прошли по всем шагам и нашли седловые точки функции двух переменных z = x^3 - 8y^3 - 6xy + 1. Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.