Найти экстремумы функции y=2x3-6х2-18х+7

Добрый день! Рад, что вы обратились ко мне с вопросом. Давайте решим эту задачу.

Для начала, нам нужно найти экстремумы функции. Экстремумы - это точки, в которых функция имеет наибольшее или наименьшее значение.

Для этого мы воспользуемся процессом дифференцирования функции. Дифференцирование - это процесс нахождения производной функции.

Для функции y=2x^3-6x^2-18x+7, нам нужно найти производную функции. Давайте проделаем это:

y' = d/dx (2x^3-6x^2-18x+7)

Для нахождения производной, мы будем использовать правила дифференцирования. Для каждого элемента функции, мы берем степень этого элемента, умножаем его на коэффициент перед этим элементом и уменьшаем степень этого элемента на 1. Таким образом, получаем:

y' = 2*3*x^(3-1) - 6*2*x^(2-1) - 18*1*x^(1-1)

Упростим это выражение:

y' = 6x^2 - 12x - 18

Теперь, чтобы найти экстремумы нашей функции, мы должны найти корни производной функции (то есть значения x, при которых производная равна нулю).

Поставим y' равным нулю и решим уравнение:

6x^2 - 12x - 18 = 0

Мы можем разделить каждый элемент этого уравнения на 6, чтобы упростить его:

x^2 - 2x - 3 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два значения x, которые являются корнями уравнения: x = 3 и x = -1.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y (y-координаты) для каждого корня, мы подставляем эти значения обратно в исходную функцию:

y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2(27) - 6(9) - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47

y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) + 7 = 2(-1) - 6(1) + 18 + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: (3, -47) и (-1, 17). Первая точка является минимумом функции, так как значение y равно -47, что является наименьшим значением функции. Вторая точка является максимумом функции, так как значение y равно 17, что является наибольшим значением функции.

Надеюсь, я смог дать вам максимально подробное решение. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.