Найти экстремумы функции: 1)f(x)=x^3-3x^2+32x+2. 2)f(x)=x^2*e^x​

Хорошо, давайте начнем с первой функции.

1) f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2

Чтобы найти экстремумы этой функции, нам нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 32

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 6x + 32 = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать квадратное уравнение или дискриминант.

D = (-6)^2 - 4 * 3 * 32 = 36 - 384 = -348

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что функция не имеет точек экстремума на всей числовой оси. Мы можем сделать вывод, что функция имеет нижний экстремум или максимум в бесконечности.

Теперь перейдем ко второй функции.

2) f(x) = x^2 * e^x

Аналогично, нам нужно найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

f'(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x * e^x + x^2 * e^x = 0

Обратите внимание, что в уравнении есть общий множитель e^x. Мы можем вынести его за скобку:

e^x * (2x + x^2) = 0

Здесь у нас есть два множителя: e^x и (2x + x^2). Чтобы уравнение было равным нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

e^x = 0 или 2x + x^2 = 0

Первое уравнение не имеет решений, поскольку экспоненциальная функция e^x всегда положительна.

Разберемся с вторым уравнением:

2x + x^2 = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение.

x(2 + x) = 0

Теперь у нас есть два множителя: x и (2 + x). Один из них должен быть равен нулю:

x = 0 или 2 + x = 0

x = 0 или x = -2

Таким образом, у нас есть две точки, где первая производная равна нулю: x = 0 и x = -2.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, нам нужно проанализировать знак второй производной f''(x).

f''(x) = 2e^x + 2x * e^x + 2x = 2e^x(1 + x + x^2)

Мы можем заметить, что вторая производная всегда положительна, так как e^x всегда положительно и 1 + x + x^2 также всегда положительно. Это означает, что у нас нет экстремумов в этих точках.

Итак, чтобы ответить на вопрос о нахождении экстремумов функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2, мы приходим к выводу, что функция не имеет точек экстремума на всем промежутке вещественных чисел.

Для функции f(x) = x^2 * e^x, мы находим две точки, где первая производная равна нулю: x = 0 и x = -2, но эти точки не являются экстремумами, так как вторая производная всегда положительна.

Надеюсь, это разъясняет вопрос о поиске экстремумов для данных функций. Если у вас возникнут еще вопросы или потребуется дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!