Найти экстремум функции: z=5+6x+2y-2x²-6xy-10y²

Question

Математика: Найти экстремум функции: z=5+6x+2y-2x²-6xy-10y² ​

HappyGamerAND3000 · Answer

Пошаговое объяснение:

z=5+6x+2y-2x²-6xy-10y²

частные производные

$\displaystyle z'_x=-4x-6y+6\\z'_y=-6x-20y+2$

теперь решим систему уравнений

$\displaystyle \left \{ {{-4x-6y+6=0} \atop {-6x-20y+2=0}} \right.$

из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение

$\displaystyle x=\frac{1}{3} -\frac{10y}{3} \\\frac{22y}{3} +\frac{14}{3} =0\\y= -\frac{7}{11}; \qquad x = \frac{27}{11}$

таким образом получим количество критических точек равно 1

это точка M1(27/11;-7/11)

теперь частные производные второго порядка

$\displaystyle z''_{xx}=-4\qquad z''_{yy}=-2 \qquad z''_{xy}= -6$

теперь значение частных производных второго порядка в критической точке M1(27/11;-7/11)

$\displaystyle A=z''_{xx}_{(27/11;-7/11)}=-4\\ C=z''_{yy}_{(27/11;-7/11)}=-20\\ B=z''_{xy}_{(27/11;-7/11)}=-6$

и вот AC - B² = 44 > 0 и A < 0

тогда в точке M1(27/11;-7/11) имеется максимум z(27/11;-7/11) = 129/11

в точке M1(27/11;-7/11) имеется максимум функции z(27/11;-7/11) = 129/11

Найти экстремум функции: z=5+6x+2y-2x²-6xy-10y² ​