Найти экстремум функции f(x)=x в третей -3x

f(x)=x³ - 3x

найдём производную

f'(x)=3x² - 3

Приравняем производную нулю

3x² - 3 = 0

3(х² - 1) = 0

x₁ = -1

x₂ = 1

разделим числовую прямую на интервалы и найдём знаки производной в этих интервалах

   +            -              +

-1 1

Поскольку график функции f'(x)=3x² - 3 - квадратная парабола веточками вверх, то знаки производной будут такими, как показано на рисунке.

Тогда в точке x₁ = -1 имеет место максимум, т.к производная меняет свой знак с + на -, а в точке x₂ = 1 имеет место минимум, т.к. производная меняет знак с - на +.

уmax = y(-1) = -1 + 3 = 2

уmin = y(1) = 1 - 3 = - 2

Так как f' (x)= 3x^2 -3 , то критические точки функции x1=1 b x2=-1.Экстремумы  могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x2= -1 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x1=1 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x1=1 у функции минимум. 

Вычислив значения функции в точках x1=1 b x2=-1, найдем экстремумы функции: максимум f(-1) = 2 и минимум f(1) = -2.