Найти длину дуги линии y=lnsinx, п/3<=x<=п/2

Сделать за 3-4 часа, благодарю.

Добрый день! Рад, что вы обратились ко мне с вопросом. Давайте разберемся, как найти длину дуги линии y=lnsinx на интервале от π/3 до π/2.

1. Для начала, нам понадобится некоторое знание об интегралах. Вы, наверняка, изучали интегралы в школе, и я дам краткое напоминание.

Интеграл - это математический объект, который позволяет найти площадь фигуры под кривой в заданном интервале. В данном случае, мы хотим найти длину дуги, которая также может быть найдена с помощью интеграла.

2. Во-первых, давайте найдем производную функции y=lnsinx. Для этого применим правило дифференцирования для составной функции.

y' = (sinx)' * (1/sinx)' = cosx * (-1/sinx) = -cosx/sinx = -cotx

3. Для нашего случая, нам необходимо найти длину дуги на интервале от π/3 до π/2.

4. Теперь нам понадобится формула для вычисления длины дуги, используя интеграл:

L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx

5. Подставим значение производной y' = -cotx в формулу длины дуги:

L = ∫√(1 + (-cotx)²) dx

6. Теперь мы готовы вычислить этот интеграл. Не буду здесь приводить все пошаговые вычисления, чтобы не перегружать текст. Вместо этого, я расскажу о методе решения этого интеграла, называемом заменой переменной.

Мы проведем замену переменной u = sinx, тогда du/dx = cosx, и dx = du/cosx.

7. Теперь заменим dx и выражение для cotx в формуле для длины дуги:

L = ∫√(1 + (-cotx)²) dx
L = ∫√(1 + (-1/tanx)²) dx
dx = du/cosx, cotx = -1/tanx
L = ∫√(1 + (-1/(u/√(1-u²)))²) du/cosx

8. Упростим выражение под корнем:

L = ∫√(1 + (-(√(1-u²)/u))²) du/cosx
L = ∫√(1 + (1-u²)/u²) du/cosx
L = ∫√((u² + 1-u²)/u²) du/cosx
L = ∫√(1/u²) du/cosx
L = ∫du/(|u| * cosx)

9. Не буду приводить все последующие вычисления интеграла, но они сводятся к вычислению натурального логарифма.

L = ln|u|/cosx + C

10. Теперь осталось только подставить значения верхнего и нижнего пределов интегрирования (π/2 и π/3 соответственно) и вычислить разность.

L = [ln|sin(π/2)|/cos(π/2)] - [ln|sin(π/3)|/cos(π/3)]

Здесь C - константа интегрирования, которую мы не можем точно вычислить, но она сокращается при вычитании значений на верхнем и нижнем пределах.