Найти четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 50 и меньше 55

 3912, 9312, 1932, 9132, 1392, 3192

Пошаговое объяснение:

1-шаг. Произведение цифр четырёхзначного числа abcd (a, b, c и d цифры) больше 50 и меньше 55. то есть 51 ≤ a·b·c·d ≤ 54. Тогда все цифры числа положительные.

По условию число кратное 12=3·4. Так как 3 и 4 взаимно простые числа, то четырёхзначное число abcd должна делится на 3 и 4.

2-шаг. Признак делимости на 4: число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.

Так как все цифры четырёхзначного числа положительные, то остаётся: число делится на 4, если две последние его цифры образуют число, делящееся на 4. В нашем случае две последние цифры: c и d, c>0 и d>0. Перечислим варианты двузначного числа cd:

12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 88, 92, 96.

3-шаг. По условию 51 ≤ a·b·c·d ≤ 54. Отметим, что так как a·b натуральное число, то двойное неравенство

51/(c·d) ≤ a·b ≤ 54/(c·d)

должен содержат натуральное число! Поэтому среди чисел 51, 52, 53 и 54 хотя бы один должен делится на произведение c·d. Разложим числа :

51 = 1·3·17

52 = 2·2·13

53 - простое число, нет множителей

54 = 2·3·3·3

Теперь проверим произведения цифр чисел:

12 --> 1·2=2 подходит, 16 --> 1·6=6 подходит, 24 --> 2·4=8 не подходит, 28  --> 2·8=16 не подходит, 32 --> 3·2=6 подходит, 36 --> 3·6=18 подходит, 44 --> 4·4=16 не подходит, 48 --> 4·8=32 не подходит, 52 --> 5·2=10 не подходит, 56 --> 5·6=30 не подходит, 64 --> 6·4=24 не подходит, 68 --> 6·8=48 не подходит, 72 --> 7·2=14 не подходит, 76 --> 7·6=42 не подходит, 84 --> 8·4=32 не подходит, 88 --> 8·8=64 не подходит, 92 --> 9·2=18 подходит, 96 --> 9·6=54 подходит.

4-шаг. Признаки делимости на 3: На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

По этому признаку число a+b+c+d должен делится на 3. В зависимости цифр c и d, учитывая a>0 и b>0, перебираем оставшиеся варианты:

12, 16, 32, 36, 92, 96.

1) cd=12, то a+b+1+2 = a+b+3. Число 3 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·1·2 ≤ 54 или 25,5 ≤ a·b ≤ 27. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 3 и 9. Их сумма 3+9=12 делится на 3.

Получим варианты: 3912, 9312.

2) cd=16, то a+b+1+6 = a+b+7. Число 7 при делении на 3 даёт остаток 1, поэтому a+b+1 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·1·6 ≤ 54 или 8,5 ≤ a·b ≤ 9. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 9, 3 и 3. Но сумма 1+9+1=11 не делится на 3 и сумма 3+3+1=7 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.

3) cd=32, то a+b+3+2 = a+b+5. Число 5 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому a+b+2 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·3·2 ≤ 54 или 8,5 ≤ a·b ≤ 9. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 9, 3 и 3. Сумма 1+9+2=12 делится на 3, но сумма 3+3+2=8 не делится на 3.

Получим варианты: 1932, 9132.

4) cd=36, то a+b+3+6 = a+b+9. Число 9 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·3·6 ≤ 54 или 2,8(3) ≤ a·b ≤ 3. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 3. Но их сумма 1+3=4 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.

5) cd=92, то a+b+9+2 = a+b+11. Число 11 при делении на 3 даёт остаток 2, поэтому a+b+2 должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·9·2 ≤ 54 или 2,8(3) ≤ a·b ≤ 3. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 3. Сумма 1+3+2=6 делится на 3.

Получим варианты: 1392, 3192.

6) cd=96, то a+b+3+6 = a+b+15. Число 15 делится на 3, поэтому a+b должен делится на 3. По условию 51 ≤ a·b·9·6 ≤ 54 или 0,9(4) ≤ a·b ≤ 1. Для последнего двойного неравенства подходят только цифры 1 и 1. Но их сумма 1+1=2 не делится на 3. В этом случае вариантов нет.

Значит, ответом будут следующие числа:

3912, 9312, 1932, 9132, 1392, 3192.