Найти частное решение дифференциального уравнения y ln y * xy'= 0, удовлетворяющее начальному условию y(1) = e. выполнить проверку.

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Исходное уравнение выглядит следующим образом: y ln y * xy' = 0.

Для начала разделим переменные. Для этого разделим обе части уравнения на y ln y и переместим y' на одну сторону уравнения, а y ln y на другую сторону:

dy/y ln y = 0 / x dx.

После этого интегрируем обе части уравнения:

∫(dy/y ln y) = ∫(0/x)dx.

Правую часть интеграла можно упростить:

∫(dy/y ln y) = ∫0 dx.

Чтобы вычислить левую часть уравнения, воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = ln y. Тогда du = 1/y dy.

Заменив переменные, получим:

∫(du/u) = ∫0 dx.

Вычислим интеграл левой части уравнения:

ln |u| = C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Заменим обратно переменную u на ln y:

ln |ln y| = C1.

Теперь решим это уравнение относительно y.

Возведем обе части уравнения в экспоненту:

e^(ln|ln y|) = e^C1.

Так как экспонента и логарифм являются взаимообратными операциями, e^ln x = x. Поэтому выражение перепишется следующим образом:

|ln y| = e^C1.

Уберем модуль, получим:

ln y = ±e^C1.

Теперь найдем e^C1. Используем начальное условие y(1) = e:

ln e = ±e^C1.

Так как ln e = 1, получаем:

1 = ± e^C1.

Рассмотрим два случая:

1. Если 1 = e^C1, то C1 = 0. В этом случае, ln y = ±1. Переведем это в экспоненциальную форму:

y = e^(±1).

2. Если 1 = - e^C1, то C1 = ln(-1). Однако логарифм отрицательного числа не определен в обычных вещественных числах, поэтому этот случай нам не подходит.

Таким образом, получаем два частных решения: y = e и y = 1/e.

Проверим решение исходного дифференциального уравнения, подставив найденные значения y:

При y = e:

y ln y * xy' = e ln e * x * 0 = 0. Условие выполняется.

При y = 1/e:

y ln y * xy' = (1/e) ln (1/e) * x * 0 = 0. Условие также выполняется.

Таким образом, найденные частные решения удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению и начальному условию.