Найдите |z| , если |z|+z=1+2i

Мнимые части в равенстве: -Im(z) = 2, откуда z = x - 2i; x - вещественное.

|z|^2 = x^2 + 4

Вещественные части:

sqrt(x^2 + 4) - x = 1

sqrt(x^2 + 4) = 1 + x

x^2 + 4 = (1 + x)^2,   x >= -1

x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1,  x >= -1

x = 3/2

z = 3/2 - 2i

|z| = sqrt(9/4 + 4) = 1/2 * sqrt(9 + 16) = 5/2