Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 решения

Ответы

Timon198 24.08.2020 23:53

Графический решения.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

рксский 24.08.2020 23:53

1. Пусть $f=\sqrt{x}$ , $g=\sqrt{3-x}$ . Заметим, что и монотонно убывают, значит, (f+g)'=f'+g' функция монотонная, следовательно, имеет не более одного корня. Из этого следует, что у уравнения $f+g=a,\; a\in\mathbb{R}$ не более двух корней.

2. Заметим, что если $x_{0}$ является решением, то $3-x_{0}$ тоже. Очевидно, что x=3/2 является осью симметрии (причем единственной) графика f+g . Иначе говоря, пара $x_{0},\; 3-x_{0}$ исчерпывает все решения указанного уравнения, если таковые имеются. Значит, достаточно потребовать, чтобы $x_{0}\neq3-x_{0} \Leftrightarrow x_{0}\neq 3/2$ . Итак, пробегает область значения рассматриваемой функции, кроме того , которому соответствует x=3/2 (это $2\sqrt{3/2}$ ).

3. Функция непрерывна, поэтому достаточно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее значение достигается в 0 (то есть значение $\sqrt{3}$ , а наибольшее в x=3/2 . Получаем ответ: $2a\in [\sqrt{3},\;2\sqrt{3/2})\Leftrightarrow a\in[\sqrt{3}/2,\;\sqrt{3/2})$