Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений ((x+5)^2+y^2-a^2)*ln(9-x^2-y^2)=0 ((x+5)^2+y^2-a^2)*(x+y-a+5)=0 имеет ровно два различных решения

Хорошо, давайте разберем эту задачу.

Для начала давайте выпишем систему уравнений:

((x+5)^2 + y^2 - a^2) * ln(9 - x^2 - y^2) = 0
((x+5)^2 + y^2 - a^2) * (x + y - a + 5) = 0

Для того чтобы найти значения параметра a, при которых система имеет ровно два различных решения, нужно рассмотреть два случая:

Случай 1: ((x+5)^2 + y^2 - a^2) * ln(9 - x^2 - y^2) = 0

В этом случае, чтобы получить два различных решения, одно из следующих уравнений должно иметь единственное решение:

1) ((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0
2) ln(9 - x^2 - y^2) = 0

Рассмотрим первое уравнение:

((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0

Очевидно, что это уравнение является уравнением окружности с центром в точке (-5, 0) и радиусом a.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

ln(9 - x^2 - y^2) = 0

Если мы возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, получаем:

9 - x^2 - y^2 = 1

Отсюда, x^2 + y^2 = 8

Опять же, это уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом sqrt(8).

Теперь мы знаем, что окружности (x+5)^2 + y^2 = a^2 и x^2 + y^2 = 8 должны иметь единственное решение, чтобы система уравнений имела два различных решения.

Случай 2: ((x+5)^2 + y^2 - a^2) * (x + y - a + 5) = 0

В этом случае, чтобы получить два различных решения, одно из следующих уравнений должно иметь единственное решение:

1) ((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0
2) (x + y - a + 5) = 0

Рассмотрим первое уравнение ((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0, которое является окружностью.

Исследуем следующее уравнение:

(x + y - a + 5) = 0

Это уравнение представляет собой прямую вида y = -x + (a - 5).

Для того чтобы система уравнений имела два различных решения, окружность ((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0 должна пересекать прямую y = -x + (a - 5) в единственной точке.

Теперь мы можем провести анализ каждого случая и найти значения параметра a, при которых система имеет ровно два различных решения.

Для первого случая, если окружность (x+5)^2 + y^2 = a^2 пересекается с окружностью x^2 + y^2 = 8 в единственной точке, то значения параметра a, при которых это происходит, должны удовлетворять условиям:

1) (a - sqrt(8))^2 + 0^2 = a^2, где a > sqrt(8)
2) (a + sqrt(8))^2 + 0^2 = a^2, где a < -sqrt(8)

Или в другой формулировке:

1) a^2 - 2a*sqrt(8) + 8 - a^2 > 0, где a > sqrt(8)
2) a^2 + 2a*sqrt(8) + 8 - a^2 > 0, где a < -sqrt(8)

Далее мы можем упростить эти неравенства и найти диапазоны значений параметра a:

1) 2a*sqrt(8) - 8 > 0, где a > sqrt(8)
2) -2a*sqrt(8) - 8 < 0, где a < -sqrt(8)

1) a > 2/sqrt(8) = sqrt(2)/2
2) a < -2/sqrt(8) = -sqrt(2)/2

Таким образом, значения параметра a, при которых система имеет ровно два различных решения, находятся в интервале (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2).

Для второго случая, прямая y = -x + (a - 5) должна пересекаться с окружностью ((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0 в единственной точке.

Чтобы найти значения параметра a, при которых это происходит, нужно найти условие для пересечения прямой и окружности ((x+5)^2 + y^2 - a^2) = 0:

(a - 5)^2 + (-a + 5)^2 - a^2 = (a - 5)^2 + (a - 5)^2 - a^2 > 0

Упрощая это неравенство, получаем:

2a^2 - 50a + 250 > 0

Решая это квадратное неравенство, получаем:

(a - 5)(a - 25) > 0

Таким образом, значения параметра a, при которых система имеет ровно два различных решения, должны быть в интервале (5, 25).

Итак, мы нашли два интервала значений параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два различных решения:

1) (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
2) (5, 25)

Сделав все расчеты и проведя анализ каждого случая, мы обоснованно определили значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два различных решения.