Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ax2+2(a+1)x+(a−4)=0
имеет два корня, расстояние между которыми больше 2

при a ∈ (3 - √10 ; 3 + √10)

Пошаговое объяснение:

Перед нами квадратное уравнение. Попробуем рассчитать его дискриминант:

Квадратное уравнение имеет два корня лишь в том случае, когда значение дискриминанта больше нуля. Следовательно:

В таком случае уравнение имеет два корня. Они будут следующие:

Теперь рассчитаем расстояние между корнями:

Нам нужно, чтобы расстояние между корнями было больше 2, следовательно:

Чтобы решить получившееся неравенство, для начала решим соответствующее уравнение:

Так как нам известны корни, мы можем разложить квадратный трёхчлен в левой части исходного неравенства на множители:

- 1 · (a - (3 - √10)) · (a - (3 + √10)) > 0

Раскроем скобки и домножим на -1 обе части неравенства (при этом следует поменять знак неравенства на противоположный):

(a - 3 + √10) · (a - 3 - √10) < 0

Произведение a · b < 0 в слеующих случаях:

{ a < 0

{ b > 0

ИЛИ

{ a > 0

{b < 0

Следовательно:

1)

{ a - 3 - √10 > 0

{ a - 3 + √10 < 0

ИЛИ

2)

{ a - 3 - √10 < 0

{ a - 3 + √10 > 0

Перенесём известные слагаемые каждого неравенства каждой системы в правую часть:

1)

{ a > 3 + √10

{ a < 3 - √10

ИЛИ

2)

{ a < 3 + √10

{a > 3 - √10

***

1)

\\\\\\\\\\\\\\\                             ///////////////

--------------o----------------------o---------------->

             3 - √10             3 + √10

Пересечений нет.

2)

          /////////////////////////////////////////////////////////

-------⚫---------o------------------------o----------------->

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

         -1/6         3 - √10                 3 + √10

a ∈ (3 - √10 ; 3 + √10), a ≥ - 1/6

***