Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (3|x|+x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2 имеет единственное решение на интервале (-1,1)

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Раскроем квадраты в обоих частях уравнения:
(3|x| + x - a)^2 = 18x^2 + 2(x - a)^2
9|x|^2 + 6x|x| + 2x^2 - 6ax - 3ax + a^2 = 18x^2 + 2x^2 - 4ax + 2a^2

2. Сократим некоторые члены:
9|x|^2 + 6x|x| + 2x^2 - 6ax - 3ax + a^2 = 20x^2 - 4ax + 2a^2

3. Приведем подобные члены:
9|x|^2 + 6x|x| - 18ax + 2x^2 - 3ax + a^2 = 20x^2 - 4ax + 2a^2

4. Перенесем все члены в левую часть уравнения:
9|x|^2 + 6x|x| - 18ax + 2x^2 - 3ax + a^2 - 20x^2 + 4ax - 2a^2 = 0

5. Упростим уравнение, объединив подобные члены:
9|x|^2 + 8x|x| - 19ax - 19x^2 + a^2 = 0

6. Разделим уравнение на 9 для удобства:
|x|^2 + (8/9)x|x| - (19/9)ax - (19/9)x^2 + (a^2/9) = 0

7. Разделим уравнение на |x| и рассмотрим два случая:

7.1. Если x > 0, тогда |x| = x
x^2 + (8/9)x^2 - (19/9)ax - (19/9)x^2 + (a^2/9) = 0
x^2 - (19/9)ax + (a^2/9) = 0

7.2. Если x < 0, тогда |x| = -x
x^2 - (8/9)x^2 + (19/9)ax - (19/9)x^2 + (a^2/9) = 0
x^2 + (19/9)ax + (a^2/9) = 0

8. Решим оба уравнения отдельно, используя квадратное уравнение.

8.1. Уравнение при x > 0:
x^2 - (19/9)ax + (a^2/9) = 0

Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:
D = (-19/9a)^2 - 4(a^2/9) = 0

Решим это уравнение:
(-19/9a)^2 - 4(a^2/9) = 0

361a^2 - 36a^2 = 0
325a^2 = 0
a^2 = 0
a = 0

Таким образом, для значения a = 0, уравнение (3|x| + x - a)^2 = 18x^2 + 2(x - a)^2 имеет единственное решение на интервале (-1,1).

8.2. Уравнение при x < 0:
x^2 + (19/9)ax + (a^2/9) = 0

Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:
D = (19/9a)^2 - 4(a^2/9) = 0

Решим это уравнение:
(19/9a)^2 - 4(a^2/9) = 0

361a^2 - 36a^2 = 0
325a^2 = 0
a^2 = 0
a = 0

Таким образом, для значения a = 0, уравнение (3|x| + x - a)^2 = 18x^2 + 2(x - a)^2 имеет единственное решение на интервале (-1,1).

Таким образом, значения a = 0 являются единственными, при которых уравнение (3|x| + x - a)^2 = 18x^2 + 2(x - a)^2 имеет единственное решение на интервале (-1,1).