Найдите все первообразные для функции f(x) = (x ^ 3)/2 - cos 3x

Для нахождения первообразных функций для данной функции f(x) = (x^3)/2 - cos(3x), мы будем использовать методы интегрирования и связанных с ними правил.

Шаг 1: Найдем первообразную для каждого слагаемого.

а) Для слагаемого (x^3)/2, мы применим правила интегрирования степенных функций. Правило интегрирования функций вида x^n, где n не равно -1, гласит, что интеграл от x^n равен (1/(n+1)) * (x^(n+1)). Применяя это правило, получим:
∫ (x^3)/2 dx = (1/2) * ((x^3)/4) = (x^4)/8

б) Для слагаемого -cos(3x), мы применим правило интегрирования тригонометрических функций. Правило интегрирования функции cos(kx), где k является постоянной, гласит, что интеграл от cos(kx) равен (1/k) * sin(kx). Применяя это правило, получим:
∫ -cos(3x) dx = -(1/3) * sin(3x)

Шаг 2: Сложим оба полученных результаты, чтобы получить первообразную для функции f(x):

∫ f(x) dx = ∫ [(x^3)/2 - cos(3x)] dx
= (x^4)/8 - (1/3) * sin(3x) + C

где C - произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Таким образом, все первообразные для функции f(x) = (x^3)/2 - cos(3x) выражаются в виде (x^4)/8 - (1/3) * sin(3x) + C, где C - произвольная постоянная.