Найдите все а при которых уравнение cos2x+2cosx=a+1 имеет только один корень на промежутке [-п/3; п]

Ответы

Тетяна2401 01.09.2020 07:28

Для начала преобразуем уравнение формулы косинуса двойного угла:

$2 cos^{2} x - 1 + 2cosx = a + 1 \\ 2 cos^{2} x + 2cosx - a - 2 = 0$

Вводим замену cos x = t

$2 t^{2} + 2t - a - 2 = 0$

Помним, что t - это не просто переменная , а косинус, который пробегает лишь отрезок [-1,1], то есть
$-1 \leq t \leq 1$

Чтобы найти необходимые границы для косинуса,

рассмотрим рисунок. Красным обозначен интересующий отрезок. Когда же на данном отрезке будет только один корень? Ну, граничные случаи видны сразу. Это t = -1

и $t = \frac{1}{2}$ . Эти прямые проводим через данные точки, они выделены синим и красным. Почему это граничные точки? Пусть t заключено между этими прямыми. Если t = -1, то, как видно, всего одна точка общая с прямой t=-1 и окружностью(напомню, что прямая вида t = a - задаёт значение а косинуса угла на окружности). Тем более, если такие прямые лежат между синей и красной(эта область заштрихована синим). Здесь показана одна из таких прямых(зелёная). Как видим, она имеет с данным отрезком только одну точку пересечения, что нам и нужно. А вот прямая $t = \frac{1}{2}$ нам не подходит. В этой точке прямая пересекает наш отрезок дважды(в верхней полуокружности и в нижней). Значит, заведомо будет две серии решений, в каждой из которых по корню будут содержаться на этом отрезке(а нам нужен только один корень на отрезке). Соответственно, в правой области(она заштрихована красным), ТЕМ БОЛЕЕ это не выполняется. Помимо этого можно увидеть, что прямая t = 1 тоже нам подходит(ровно одна точка пересечения с окружностью).

То есть, нам подходят только такие t, что $-1 \leq t\ \textless \ \frac{1}{2}$ и t = 1

.

Рассмотрим теперь квадратное уравнение.
Для начала стоит рассмотреть "изолированные" точки t = 1, t = -1

.

1)Пусть t = 1

. Подставляя в квадратное уравнение, найдём отсюда соответствующее а:
$2 * 1^{2} + 2 *1 - a - 2 = 0 \\ a = 2 + 2 - 2 = 2$
Проверка:
$2 t^{2} + 2t - 4 = 0 \\ t^{2} + t - 2 = 0 \\ t_{1} = -2; t_{2} = 1$
Первый корень явно лишний(косинус не может достигать -2). То есть, видим, у нас есть лишь уравнение cos x = 1

, устраивающее нас(его серия решений содержит единственный корень на отрезке) - a = 2 условию задачи удовлетворяет.

2) t = -1

      $2 (-1)^{2} + 2(-1) - a - 2 = 0 \\ a = -2$
    Проверяем:
     $2 t^{2} + 2t = 0 \\ t(t + 1) = 0 \\ t = 0$ или t = -1

Здесь уже к корню t = -1 добавился корень t = 0. Уравнение cos x = 0

вновь имеет единственный корень на нашем отрезке(видно на круге). То есть, каждое t дало по одному корню на отрезке, в сумме - два корня для исходного уравнения.   a = -2 нам абсолютно не подходит.

3)Пусть теперь $-1 \ \textless \ t \ \textless \ \frac{1}{2}$ . Здесь надо быть поаккуратнее, поскольку необходимо отслеживать число корней квадратного уравнения и промежутки, в которых они находятся. Количество корней зависит от дискриминанта. Найдём его.
$D = b^{2} - 4ac = 4 + 4 * 2(a+2) = 8a + 20$
       а)Если $D \ \textless \ 0$ , то корней квадратное уравнение не имеет - на нет и суда нет.
       б)Если D = 0

, то уравнение имеет один корень. Найдём его.
               $8a + 20 = 0 \\ a = - \frac{20}{8} = - \frac{5}{2}$
          Подсталвяем параметр в наше квадратное уравнение:
          $2 t^{2} + 2t + \frac{5}{2} -2 = 0 \\ 2 t^{2} +2t + 0,5 = 0 \\ t_{1,2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ - такое значение t вписывается в наш промежуток для t, поэтому $a = - \frac{5}{2}$ условию задачи удовлетворяет.

        в) $D \ \textgreater \ 0$ Самый сложный случай. Уравнение имеет два корня. Как же тогда получить в точности один корень на нужном отрезке? ответ прост: один корень должен вписываться в промежуток для t(там гарантированно будет одно решение на отрезке), а второй - не принадлежать ему(тогда гарантированно второй корень t не даст прибавку в подходящих x). Смотрите второй рисунок: либо меньший корень не принадлежит отрезку, либо больший.

Записываем для данной ситуации необходимые и достаточные условия.
$\left \{ {{f(-1) \ \textless \ 0} \atop {f( \frac{1}{2})\ \textgreater \ 0 }} \right.$ или $\left \{ {{f( \frac{1}{2}) \ \textless \ 0 } \atop {f(-1) \ \textgreater \ 0}} \right.$
Замечу, что при этом условие D > 0 уже не требуется: оно выполнено автоматически(если выполняются указанные системы, то это "опускает" параболу ниже оси OX, поэтому уравнение автоматически имеет два корня, а, стало быть, и D > 0).
Находим теперь значения параболы в указанных точках.
f(-1) = -a-2

   $f( \frac{1}{2} ) = 2 * \frac{1}{4} + 1 - a - 2= -a - \frac{1}{2}$

Решаем первую систему:

∈ $(-2, - \frac{1}{2} )$

Вторая система решений не имеет.
Добавляя к этому интервалу ещё точки a = 2

и $a = -\frac{5}{2}$ (не вошедшие сюда), записываем
ответ:

∈ $(-2, - \frac{1}{2} )$ , $\{- \frac{5}{2} \}, \{2\}$
Найдите все а при которых уравнение cos2x+2cosx=a+1 имеет только один корень на промежутке [-п/3; п]