Найдите угол наклона касательной к графику функции f(x)=x-√3/x в точке x0=-1

Хорошо, я с радостью помогу вам решить эту задачу!

Для начала, нам нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀=-1, которая представляет собой угол наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная функции f(x) находится путем вычисления предела отношения изменения функции к изменению аргумента, при стремлении изменения аргумента к нулю. В данном случае это будет выражение:

f'(x) = lim (h → 0) [(f(x₀ + h) - f(x₀))/h]

Теперь подставим значения функции f(x) и точки x₀ в данное выражение:

f'(x) = lim (h → 0) [(f(-1 + h) - f(-1))/h]

Далее, нам нужно вычислить функцию f(x) для заданного выражения и точки:

f(x) = x - √3/x

f(x₀) = -1 - √3/(-1) = -1 + √3

Теперь подставим значения функции f(x₀) и x₀ в выражение производной:

f'(x) = lim (h → 0) [(f(-1 + h) - (-1 + √3))/h]

Теперь раскроем скобки:

f'(x) = lim (h → 0) [(-1 + h - √3/(-1 + h))/h]

Далее, упростим данный предел. Выразим √3/(-1 + h) общим знаменателем:

f'(x) = lim (h → 0) [((-1 + h)^2 - √3)/h(-1 + h)]

Продолжим упрощение:

f'(x) = lim (h → 0) [(1 - 2h + h^2 - √3)/(h - h^2)]

Теперь можем сократить некоторые слагаемые:

f'(x) = lim (h → 0) [(1 - √3)/(1 - h)]

Теперь подставим h = 0 в данное выражение (так как мы вычисляем предел при стремлении h к нулю):

f'(x) = (1 - √3)/(1 - 0) = 1 - √3

Таким образом, угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке x₀=-1 равен 1 - √3.