Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и
D(2; -3; 1). Распишите полностью

Даны точки А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и  D(2; -3; 1).

Находим координаты и длины векторов.

                  х      у       z             Длина

  Вектор АВ          -1     0       -1        √2 ≈ 1,414213562

  Вектор СД          0      -1       -1        √2 ≈ 1,414213562.

cos α = (-1*0 + 0*(-1) + (-1)*(-1)) / (√2 * √2) = 1/2.

Угол равен arc cos(1/2) = 60 градусов.

Чтобы найти угол между прямыми АВ и СD, мы можем использовать формулу для вычисления угла между векторами.

1. Вначале нам нужно найти направляющие векторы прямых АВ и СD. Для этого вычислим разность координат конечной и начальной точек каждой прямой.

Направляющий вектор АВ = В - А = (0 - 1; 1 - 1; 1 - 2) = (-1; 0; -1)
Направляющий вектор СD = D - C = (2 - 2; -3 - (-2); 1 - 2) = (0; -1; -1)

2. Затем найдем скалярное произведение этих двух векторов с помощью формулы:

Скалярное произведение АВ и СD = (-1 * 0) + (0 * -1) + (-1 * -1) = 0 + 0 + 1 = 1

3. Теперь нам нужно найти длину каждого из векторов АВ и СD. Для этого воспользуемся формулой длины вектора:

Длина вектора АВ = sqrt((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 0 + 1) = sqrt(2)
Длина вектора СD = sqrt(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = sqrt(0 + 1 + 1) = sqrt(2)

4. Теперь мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами:

cos α = (Скалярное произведение АВ и СD) / (Длина вектора АВ * Длина вектора СD)

cos α = 1 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 1 / (2) = 0.5

5. Используя таблицы значений или калькулятор, найдем угол α, у которого косинус равен 0.5. Угол α около 60 градусов.

Таким образом, угол между прямыми АВ и СD равен около 60 градусов.