Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями 5 x−3 y−2 z+1=0 и 3 x+2 y−5 z−4=0.

Хорошо, давайте разберем этот вопрос.

У нас есть две плоскости, заданные уравнениями 5x – 3y – 2z + 1 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0. Нам нужно найти угол между ними.

Для начала, давайте найдем нормальный вектор для каждой плоскости. Нормальный вектор для плоскости A задается коэффициентами перед x, y и z в уравнении этой плоскости. То есть, в плоскости A нормальный вектор будет (5, -3, -2), а в плоскости B – (3, 2, -5).

Затем, мы будем находить скалярное произведение этих двух нормальных векторов. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.

Длина вектора A равна √(5^2 + (-3)^2 + (-2)^2) = √38, а длина вектора B равна √(3^2 + 2^2 + (-5)^2) = √38.

Теперь найдем скалярное произведение: (5 * 3) + (-3 * 2) + (-2 * -5) = 15 - 6 + 10 = 19.

Теперь можем найти косинус угла между плоскостями, используя формулу косинуса:

косинус угла = скалярное произведение / (длина вектора A * длина вектора B) = 19 / (√38 * √38) = 19 / 38 = 1/2.

Таким образом, косинус угла равен 1/2. Чтобы найти сам угол, мы должны воспользоваться таблицей значений тригонометрических функций или калькулятором. Найдем обратный косинус от 1/2: cos^(-1)(1/2) ≈ 60°.

Ответ: Угол между плоскостями, заданными уравнениями 5x – 3y – 2z + 1 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0, примерно равен 60°.