Найдите точку максимума функции y=(x−4)^2​(x+5)+8

Добрый день! Рассмотрим заданную функцию y=(x-4)^2(x+5)+8 и найдем точку максимума.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y по переменной x.

Для этого применим правило дифференцирования произведения:
Пусть u(x) и v(x) - две функции, дифференцируемые на некотором интервале. Тогда производная произведения функций (u(x) * v(x)) равна:
(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Применим это правило к заданной функции:
y'(x) = (x-4)^2 * (x+5)' + (x-4) * (x+5)^2'.

Здесь (x+5)' = 1, так как производная константы равна нулю.
Также (x+5)^2' = 2(x+5), так как мы применяем правило дифференцирования степенной функции.

Выполним соответствующие вычисления:
y'(x) = (x-4)^2 + 1 * (x-4) + (x-4) * 2(x+5).

Упростим это выражение:
y'(x) = (x-4)^2 + (x-4) + 2(x-4)(x+5).

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая полученное уравнение:
y'(x) = 0.

Подставим выражение для производной:
(x-4)^2 + (x-4) + 2(x-4)(x+5) = 0.

Раскроем скобки:
(x^2 - 8x + 16) + (x - 4) + 2(x^2 + x - 20) = 0.

Объединим подобные слагаемые:
3x^2 + 6x - 8 + 16 - 4 - 40 = 0.

Сократим числа:
3x^2 + 6x - 36 = 0.

Разделим все слагаемые на 3, чтобы упростить выражение:
x^2 + 2x - 12 = 0.

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение для определения критических точек. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или попытаться разложить его на множители. В данном случае лучше воспользоваться разложением:

Разложим квадратное уравнение на множители:
(x + 6)(x - 2) = 0.

Таким образом, получаем два значения переменной x: x = -6 и x = 2.

Шаг 4: Найдем соответствующие значения функции y для найденных критических точек, подставив их в исходное уравнение:
y = (x-4)^2(x+5) + 8.

Для x = -6:
y = (-6-4)^2(-6+5) + 8 = (-10)^2 * (-1) + 8 = 100 * (-1) + 8 = -100 + 8 = -92.

Для x = 2:
y = (2-4)^2(2+5) + 8 = (-2)^2 * 7 + 8 = 4 * 7 + 8 = 28 + 8 = 36.

Шаг 5: Сравним полученные значения y и определим, у какой из критических точек функция достигает максимума. Максимум функции достигается в той точке, где значение функции наибольшее.

Исходя из наших расчетов, получаем, что y = -92 при x = -6 и y = 36 при x = 2. Таким образом, точка максимума функции y=(x-4)^2(x+5)+8 находится при x = 2, y = 36.

Оставляйте вопросы, если что-то не ясно!

ответ:y=168

Пошаговое объяснение:1)y=(x−4)^2​(x+5)+8;

2)y=(0−4)^2​(0+5)+8

3)y=168