Найдите точку максимума функции y=16/3 x^3-121x+100

Привет!

Ок, давай найдем точку максимума функции y = (16/3)x^3 - 121x + 100.

Прежде всего, чтобы найти точку максимума, мы должны найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Если мы найдем значение x, которое делает производную равной нулю, мы сможем использовать его для нахождения соответствующего значения y, которое будет точкой максимума.

1. Найдем производную этой функции. Чтобы найти производную любого терма вида ax^n, мы можем использовать правило степенной функции: производная равна произведению показателя степени на коэффициент, и показатель степени уменьшается на единицу.

Таким образом, применяя это правило ко всем трем термам, получаем:

y' = (3 * 16/3)x^(3-1) - 121 * 1 * x^(1-1) + 0

Упрощая выражение, получим:

y' = 16x^2 - 121

2. Теперь, чтобы найти значение x, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

16x^2 - 121 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать факторизацию, метод среднего арифметического, составление таблицы и т. д. Но, чтобы его решить, я воспользуюсь применением формулы квадратного уравнения.

Формула квадратного уравнения имеет вид: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае a = 16, b = 0, и c = -121.

Подставив эти значения в формулу, получим:

x = (-0 ± √(0^2 - 4 * 16 * -121)) / (2 * 16)

Упрощая выражение:

x = ± √(1936) / 32

x = ±44 / 32

Таким образом, у нас есть два значения x: x = 44 / 32 и x = -44 / 32.
Мы рассмотрим оба значения, чтобы определить, какое из них соответствует точке максимума.

3. Теперь найдем соответствующие значения y, используя эти значения x. Для этого подставим найденные значения x в исходную функцию:

y(44/32) = (16/3)(44/32)^3 - 121(44/32) + 100

y(-44/32) = (16/3)(-44/32)^3 - 121(-44/32) + 100

Вычисляя эти выражения, получаем:

y(44/32) ≈ -454.75
y(-44/32) ≈ -614.75

Таким образом, мы имеем две точки: x ≈ 44/32 с y ≈ -454.75 и x ≈ -44/32 с y ≈ -614.75.

4. Чтобы определить, какая точка соответствует максимуму, сравним значения y для найденных точек. Поскольку значение y(-44/32) = -614.75 меньше, чем значение y(44/32) = -454.75, точкой максимума является (44/32, -454.75).

Таким образом, точка максимума функции y = (16/3)x^3 - 121x + 100 равна (44/32, -454.75).

Надеюсь, это помогло! Если у тебя остались вопросы, не стесняйся спрашивать.