Найдите точки экстремума функции y=x^3-6x^2+9x+3 на промежутке (-6/5; 2)

Функция достигает локальный максимум в точке x = 1

Пошаговое объяснение:

Дана функция

y=x³–6·x²+9·x+3.

Чтобы определить экстремумы на промежутке (–6/5; 2) = (–1,2; 2) сначала вычислим производную от функции

y'=(x³–6·x²+9·x+3)'=(x³)'–6·(x²)'+9·(x)'+(3)'= 3·x²–6·2·x+9·1+0=3·x²–12·x+9.

Теперь производную от функции приравниваем к нулю и находим критические точки:

y'=0 ⇔ 3·x²–12·x+9=0  | :3 ⇔ x²–4·x+3=0 ⇔ (x²–3·x)–x+3=0 ⇔

⇔ (x–3)·x–(x–3)=0 ⇔ (x–3)·(x–1)=0 ⇒ x₁ = 1 ∈ (–1,2; 2), x₂ = 3 ∉ (–1,2; 2).

В окрестности точки x = 1 проверим знаки производной:

0∈ (-1; 1) :  y'(0)=3·0²–12·0+9= 9>0, то есть функция возрастает;

0∈ (1; 2) :  y'(1,5)=3·1,5²–12·1,5+9=6,75–18+9= –2,25<0 , то есть функция убывает.

Отсюда следует, что в точке x = 1 функция достигает локальный максимум и равен:

y(1)=1³–6·1²+9·1+3=1–6+9+3=7.