1. Математика
  2. Найдите такое значение

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение ax=logax имеет единственное решение. в ответе укажите число e⋅lna.

Соня13377 Соня13377    3   01.07.2019 21:00    7

Ответы
ЧеLOVEчек51534 ЧеLOVEчек51534  02.10.2020 17:54
Найти такое \displaystyle a\in\mathbb{R}, что \displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.

Пусть \displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).

Заметим, что \displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x, то есть \displaystyle g(x)=f^{-1}(x).

\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)}, значит имеем \displaystyle x=a^x.

Уравнение \displaystyle x=a^x имеет единственное действительное решение только тогда, когда \displaystyle y=x касается \displaystyle y=f(x).

\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;

\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);

\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}

\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}

\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};

\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;

\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};

\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
burtsevadianka burtsevadianka  22.04.2020 09:27
Условие задачи. Во время отдыха на природе организовали спортивные мероприятия для отдыхающих. В волейбол играли 36 человек, в футбол в 2 раза больше участников, чем в волейбол...
13SCHOOL13 13SCHOOL13  22.04.2020 09:27
Реши задачу. Составь и реши обратную...
xile4t xile4t  22.04.2020 09:27
Число Х больше 12 и меньше решить и сделать числовую прямую...
tim228904 tim228904  22.04.2020 09:27
У выражение: − 2(3 – 5a) – 4( −а + 7) +14...
Sasha080903 Sasha080903  22.04.2020 09:27
Как решать задачку на стр 55 задание 6 (а) 4 класс...
vitaly1552 vitaly1552  22.04.2020 09:27
Автобус и грузовая машина, скорость которой на 15 км/ч больше скорости автобуса, выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми — 429...
DmitriyTF2 DmitriyTF2  22.04.2020 09:27
5. Я могу провервыполнения дерПроверь, вернов выражениях. Ипроверить правильность определения порадкаения действий в выражениях.зерно ли Света расставила порядок действийтях....
Georgiy111111 Georgiy111111  22.04.2020 09:27
Футболка стоила 1300 стала , после снижения цены она стала стоить 780, на сколько процентов была снижена цена на футболку?...
Nellity Nellity  22.04.2020 09:27
ЗАДАЧА. В трехзначном числе зачеркнули последнюю цифру ноль, и оно уменьшилось на 405. Какое число получилось? Составьте уравнение для нахождения полученного числа. * х/10=х-405...
ābuttt ābuttt  22.04.2020 09:27
Не понял *Человеки если не знаете не пишите плэз* Я ВапЩе Не ПоНял ​...

Популярные вопросы