1. Математика
  2. Найдите такое значение a

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение a^x = log_ax имеет единственное решение. в ответе укажите число e*lna.

sofiakobzeva sofiakobzeva    1   01.07.2019 14:30    0

Ответы
Фейдииик Фейдииик  02.10.2020 17:30
Найти такое \displaystyle a\in\mathbb{R}, что \displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.

Пусть \displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).

Заметим, что \displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x, то есть \displaystyle g(x)=f^{-1}(x).

\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)}, значит имеем \displaystyle x=a^x.

Уравнение \displaystyle x=a^x имеет единственное действительное решение только тогда, когда \displaystyle y=x касается \displaystyle y=f(x).

\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;

\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);

\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}

\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}

\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};

\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;

\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};

\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
E041Shvan E041Shvan  23.03.2020 02:13
Задачи: Решить предложенные ниже задачи, используя соответствующие формулы.1. формулу для вычисления числа перестановок.2. формулу для вычисления числа размещений.3. формулу...
usenov777 usenov777  23.03.2020 02:15
Лесной участок имеет форму круга. Выходя на утреннюю прогулку, Мистер Форд и Мистер Фокс движутся из пункта А в пункт В. Мистер Фокс идет напрямую через лес со скоростью...
Вадім2006 Вадім2006  23.03.2020 02:17
Найдите градусную меру угла N треугольника MNK , если известно, что MN = NK , MK NK, а один из углов треугольника равен 70 градусам....
vikaplmplmpl vikaplmplmpl  23.03.2020 02:23
Мама вяжет 15 пар носок за 5 дней, бабушка - за 3 дня, Сколько пар носок они свяжут вместе за 4 дня?...
denislabynsky denislabynsky  23.03.2020 02:25
Укажите коэффициент произведения: m ∙(–0,25n) ∙ 4p...
Dimoo9n Dimoo9n  23.03.2020 02:25
Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 10 см і 34 см а її висота 16 см знаїдить бічну сторону трапеції...
krmax2002p0bwab krmax2002p0bwab  24.05.2020 19:27
Прямая с является линией пересечения плоскостей α и β. В плоскости β взята точка В, не лежащая на прямой с. 1) Постройте линию пересечения плоскости β с плоскостью, в которой...
artemantonuc artemantonuc  25.05.2020 19:24
Середнє арифметичне двох чисел дорівнюєь 8, 6 . Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 2,4 більше другого.Чому дорівнює менше та більше числа? ​...
БМадина3 БМадина3  25.05.2020 19:25
Вычислить определенные интегралы. ( ПЕРВЫЕ 3 НОМЕРА )...
sofya0skoblova sofya0skoblova  25.05.2020 19:25
Даю 50 б Позначте на координатній площині точки А(-3;2); В(0;-2); М(3;4). Проведіть пряму АВ. Через точку М проведіть пряму m, паралельну АВ і пряму n, перпендикулярну АВ....

Популярные вопросы