Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos3x=cosx

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

Уравнение, которое нам дано, - это cos3x=cosx.

1. Для начала, давайте перепишем уравнение, используя тригонометрический тождество cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x). Таким образом, у нас получится:
4cos^3(x) - 3cos(x) = cos(x).

2. Теперь, давайте перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:
4cos^3(x) - 4cos(x) = 0.

3. Заметим, что можно вынести за скобки общий множитель cos(x):
cos(x)(4cos^2(x) - 1) = 0.

4. Теперь, нам нужно решить два уравнения:
a) cos(x) = 0
b) 4cos^2(x) - 1 = 0.

a) Для уравнения cos(x) = 0, находим значения, при которых косинус равен нулю. Эти значения - это 0 градусов, 180 градусов и все углы, кратные 360 градусов. В радианах, это будет 0, π, 2π и т.д.

b) Теперь решим уравнение 4cos^2(x) - 1 = 0. Для этого, давайте разделим оба члена на 4, чтобы получить:
cos^2(x) - 1/4 = 0.

5. Теперь, заметим, что это квадратное уравнение для cos(x). Мы можем решить его двумя способами: с помощью факторизации или используя формулу дискриминанта.

Давайте сначала попробуем факторизовать. Так как у нас только одно слагаемое, мы можем записать уравнение в виде (cos(x) - a)(cos(x) - b) = 0, где a и b - это корни уравнения.

Мы знаем, что a*b равно -1/4 (произведение свободного члена и коэффициента при слагаемом старшей степени). Используя это, мы можем приступить к факторизации.

Факторизуем:
cos^2(x) - 1/4 = (cos(x) - a)(cos(x) - b) = 0.

Раскроем скобки:
cos^2(x) - 1/4 = cos^2(x) - (a+b)cos(x) + ab = 0.

Сравним коэффициенты при cos(x):
a + b = 0,
ab = -1/4.

Мы видим, что a и b равны 1/2 и -1/2 соответственно, так как их сумма равна 0, а их произведение равно -1/4.

Теперь мы знаем, что корни уравнения cos^2(x) - 1/4 = 0 равны 1/2 и -1/2.

6. Итак, у нас есть два уравнения cos(x) = 0 и cos(x) = 1/2, которые имеют решения x = 0, π, 2π и x = π/3, 5π/3, соответственно.

7. Наша задача - найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.

Наименьший положительный корень - это π/3, а наибольший отрицательный корень - это -2π. Следовательно, сумма этих двух корней равна π/3 - 2π или -5пи/3.

Таким образом, сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos3x=cosx равна π/3 - 2π или -5π/3.