Математика: Найдите сумму 1^2*x+2^2*+n^2*x^n всего n членов

Преобразуем Рассмотрим ряда суммы ,если взять интеграл от исходной суммы , то есть по частям отсюда можно еще преобразовать заметим что в скобках есть производная суммы так как получим геометрическую прогрессию , найдем производную и умножим на , в итоге получим , так как мы проинтегрировали сумму , то надо найти вторую производную : и умножим на 2 в итоге получим формулу выражающую сумму Проверяя все подходит ...

Найдите сумму 1^2x+2^2+n^2*x^n всего n членов

Ответы

lolologhka 03.07.2020 22:55

$x+4x^2+9x^3+16x^4+25x^5+36x^6+.....+n^2*x^n=\\\\

$
Преобразуем $x(1 + 4x + \frac{3^3x^2}{3} + \frac{4^4x^3}{4^2} + \frac{5^5x^4}{5^3}+...\frac{n^n*x^{n-1}}{n^{n-2}})$
Рассмотрим ряда суммы ,если взять интеграл от исходной суммы , то есть по частям
$\int\limits (1 + 4x + \frac{3^3x^2}{3} + \frac{4^4x^3}{4^2} + \frac{5^5x^4}{5^3}+...\frac{n^n*x^{n-1}}{n^{n-2}}$ = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5

отсюда можно еще преобразовать $x(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+...+...n*x^{n-1})$ заметим что в скобках есть производная суммы так как
$x^n'=n*x^{n-1}$ получим геометрическую прогрессию
$x+x^2+x^3+x^4+.....+x^5=\frac{x(x^n-1)}{x-1}$ , найдем производную и умножим на

, в итоге получим
$\frac{x^{n+1}*(nx-n-1)+x}{(x-1)^2}$ , так как мы проинтегрировали сумму , то надо найти вторую производную :
$\frac{x^n(n^2x^2-2n^2x-2nx+x+n^2+2n+1)-x-1}{(x-1)^3}$
и умножим на 2 в итоге получим формулу выражающую сумму
$2*\frac{x^n(n^2x^2-2n^2x-2nx+x+(n+1)^2)-x-1}{(x-1)^3}$
Проверяя все подходит

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика