Найдите пять таких последовательных натуральных числа чтобы сумма квадратов первых трех чисел была на 254 единицы больше 2 кратного значение произведения последних двух чисел

Хорошо, давай разбираться с этим вопросом.

Дано, что мы ищем пять последовательных натуральных чисел. Пусть эти числа будут n, n+1, n+2, n+3 и n+4.
Теперь, нам нужно выразить наше условие в виде уравнения.

Сумма квадратов первых трех чисел будет равна (n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2), потому что нам нужно возвести каждое из этих чисел в квадрат и сложить результаты.
Произведение последних двух чисел будет равно (n+3) * (n+4).

Условие говорит, что сумма квадратов первых трех чисел должна быть на 254 единицы больше 2-кратного значения произведения последних двух чисел.
Можем записать это условие в виде уравнения:

(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2) = 2 * (n+3) * (n+4) + 254

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить для нахождения значения n.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 2 * (n+3) * (n+4) + 254

Упростим выражение:

3n^2 + 6n + 5 = 2n^2 + 14n + 24 + 254

Теперь сгруппируем по степеням n:

n^2 - 8n - 275 = 0

Решим это квадратное уравнение. Можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Для этого уравнения a = 1, b = -8 и c = -275.

D = (-8)^2 - 4 * 1 * -275
D = 64 + 1100
D = 1164

У нас положительный дискриминант, поэтому у нас два решения для n:

n = (-b + sqrt(D)) / (2a), n = (-b - sqrt(D)) / (2a)

n = (8 + sqrt(1164)) / 2 и n = (8 - sqrt(1164)) / 2

n = (8 + 34.14) / 2 и n = (8 - 34.14) / 2
(n ≈ 21.07 и n ≈ -13.07)

Мы ищем натуральные числа, поэтому отбросим отрицательное значение n.

Таким образом, наше первое натуральное число будет около 21 (давайте округлим его вниз для удобства).
Теперь найдем остальные четыре числа:

- Первое число: n ≈ 21
- Второе число: n+1 ≈ 22
- Третье число: n+2 ≈ 23
- Четвертое число: n+3 ≈ 24
- Пятое число: n+4 ≈ 25

Итак, пять последовательных натуральных чисел, где сумма квадратов первых трех чисел на 254 единицы больше 2-кратного значения произведения последних двух чисел, следующие: 21, 22, 23, 24 и 25.