Найдите промежутки монотонности для функции y=1/3x^3+1/2x^2-5x

Для начала, чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно определить производную функции и найти точки, где эта производная равна нулю или не существует. Это поможет нам понять изменение знаков производной и, следовательно, монотонность функции.

Для данной функции y=1/3x^3+1/2x^2-5x, сначала найдем ее производную.
Производная функции y=1/3x^3+1/2x^2-5x будет равна сумме производных каждого слагаемого:
y'=(1/3) * 3x^2 + (1/2) * 2x - 5

Упростим это выражение:
y' = x^2 + x - 5

Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует.
Приравняем выражение для производной к нулю и решим это уравнение:
x^2 + x - 5 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного уравнения или метода подбора корней:
(x + 2)(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: -2 и 2.

Теперь построим таблицу знаков, чтобы понять изменение знаков производной и найти промежутки монотонности функции:

x | -∞ | -2 | 2 | +∞
------+--------------------
sign(y') | + | 0 | - | -

Из таблицы знаков видно, что производная положительна на промежутке (-∞, -2), а затем становится отрицательной на промежутке (-2, 2), и в конце становится положительной на промежутке (2, +∞).

Таким образом, мы можем взять эти промежутки и сказать, что функция y=1/3x^3+1/2x^2-5x монотонно возрастает на промежутке (-∞, -2), монотонно убывает на промежутке (-2, 2) и снова монотонно возрастает на промежутке (2, +∞).

Надеюсь, это поможет тебе лучше понять промежутки монотонности функции. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!