Найдите производную функции:

а) у = е^х + х^2,5 ;

б) у = ln(x^2 + 1) – 4^x ;

в) у = 2е^х + cos3x ;

г) у = е^2х-5 ∙ х^3 ;
2.Составьте уравнение касательной к графику функции

у = 5х – 3 + е^х-1 в точке с абсциссой, равной 1.

​

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами.
Давайте начнем с первой задачи:

а) Найдем производную функции у = е^х + х^2,5.
Для этого мы будем использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования степенной функции. Применяя эти правила, получим:
dy/dx = d(e^x)/dx + d(x^2.5)/dx

Правило дифференцирования экспоненты гласит, что производная функции e^x равна самой функции, т.е. d(e^x)/dx = e^x.

Правило дифференцирования степенной функции гласит, что производная функции x^n равна n*x^(n-1), где n - степень, а x - переменная. Применяя это правило, получим:
d(x^2.5)/dx = 2.5*x^(2.5-1) = 2.5*x^1.5 = 2.5*x^(3/2).

Теперь мы можем объединить две части полученной производной:
dy/dx = e^x + 2.5*x^(3/2).

Таким образом, производная функции у = е^х + х^2,5 равна e^x + 2.5*x^(3/2).

Приступим ко второй задаче:

б) Найдем производную функции у = ln(x^2 + 1) - 4^x.
Для этого мы будем использовать правило дифференцирования разности и правило дифференцирования логарифма. Применяя эти правила, получим:
dy/dx = d(ln(x^2 + 1))/dx - d(4^x)/dx.

Правило дифференцирования логарифма гласит, что производная функции ln(u) равна u'/u, где u' - производная функции u. Применяя это правило к первому слагаемому, получим:
d(ln(x^2 + 1))/dx = (2x)/(x^2 + 1).

Правило дифференцирования степенной функции гласит, что производная функции a^x равна a^x*ln(a), где a - основание степенной функции. Применяя это правило ко второму слагаемому, получим:
d(4^x)/dx = 4^x*ln(4).

Теперь мы можем объединить две части полученной производной:
dy/dx = (2x)/(x^2 + 1) - 4^x*ln(4).

Таким образом, производная функции у = ln(x^2 + 1) - 4^x равна (2x)/(x^2 + 1) - 4^x*ln(4).

Перейдем к третьей задаче:

в) Найдем производную функции у = 2е^х + cos3x.
Для этого мы будем использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции. Применяя эти правила, получим:
dy/dx = d(2e^x)/dx + d(cos3x)/dx.

Правило дифференцирования экспоненты гласит, что производная функции a^x равна a^x*ln(a), где a - основание степенной функции. Применяя это правило к первому слагаемому, получим:
d(2e^x)/dx = 2e^x*ln(2).

Правило дифференцирования косинуса гласит, что производная функции cos(x) равна -sin(x). Применяя это правило к второму слагаемому, получим:
d(cos3x)/dx = -sin(3x)*3.

Теперь мы можем объединить две части полученной производной:
dy/dx = 2e^x*ln(2) - 3*sin(3x).

Таким образом, производная функции у = 2е^х + cos3x равна 2e^x*ln(2) - 3*sin(3x).

Перейдем к четвертой задаче:

г) Найдем производную функции у = е^2х-5 ∙ х^3.
Для этого мы будем использовать правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования степенной функции. Применяя эти правила, получим:
dy/dx = d(e^2x-5)/dx * x^3 + e^2x-5 * d(x^3)/dx.

Правило дифференцирования экспоненты гласит, что производная функции e^u равна u'*e^u, где u - функция от x, а u' - производная функции u. Применяя это правило к первому слагаемому, получим:
d(e^2x-5)/dx = 2*e^2x-5.

Правило дифференцирования степенной функции гласит, что производная функции x^n равна n*x^(n-1), где n - степень, а x - переменная. Применяя это правило к второму слагаемому, получим:
d(x^3)/dx = 3*x^(3-1) = 3*x^2.

Теперь мы можем объединить две части полученной производной:
dy/dx = 2*e^2x-5 * x^3 + e^2x-5 * 3*x^2.

Таким образом, производная функции у = е^2х-5 ∙ х^3 равна 2*e^2x-5 * x^3 + 3*e^2x-5 * x^2.

Перейдем ко второй части задания:

2. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 5x - 3 + e^x-1 в точке с абсциссой, равной 1, нам понадобится 2 компоненты: точка и наклон касательной.
Сначала найдем производную функции y = 5x - 3 + e^x-1. Мы уже нашли производные в предыдущих задачах, поэтому можем воспользоваться полученными ответами.

Для точки с абсциссой x = 1, подставим значение в исходную функцию:
y = 5*1 - 3 + e^1-1 = 5 - 3 + e^0 = 5 - 3 + 1 = 3.

Таким образом, точка на графике функции y = 5x - 3 + e^x-1, в которой мы составляем касательную, имеет координаты (1, 3).

Теперь найдем наклон касательной. Для этого подставим значение x = 1 в производную функции y = 5x - 3 + e^x-1, которую мы уже вычислили ранее:
dy/dx = e^x + 5.

Подставим x = 1 в полученную производную:
dy/dx = e^1 + 5 = e + 5.

Таким образом, наклон касательной к графику функции y = 5x - 3 + e^x-1 в точке с абсциссой, равной 1, равен e + 5.

Теперь мы можем записать уравнение касательной в виде:
y - y_0 = m(x - x_0),
где (x_0, y_0) - координаты точки на графике, а m - наклон касательной.

Подставим значения (1, 3) для (x_0, y_0) и (e + 5) для m:
y - 3 = (e + 5)(x - 1).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 5x - 3 + e^x-1 в точке с абсциссой, равной 1, равно y - 3 = (e + 5)(x - 1).