Найдите, при какой значении a уравнение х²+(а+4)x-a+16=0 имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Пусть эти корни равны t и 2t. Тогда по теореме Виета
t + 2t = -a - 4
t * 2t = -a + 16

Из первого уравнения t = - (a + 4)/3. Подставляем значение t во второе уравнение.

2/9 * (a + 4)^2 = -a + 16
a^2 + 8a + 16 = -9a/2 + 72
2a^2 + 25 a - 112 = 0
D = 25^2 + 4 * 2 * 112 = 625 + 896 = 1521 = 39
a = (-25 +- 39)/4
a = 7/2 или a = -16.

Проверяем:
a = 7/2: уравнение x^2 + 15/2 x + 25/2 = 0 имеет два отрицательных корня, не подходит
a = -16: уравнение x^2 - 12x + 32 = 0 имеет корни 4 и 8, подходит.

ответ. a = -16.