Найдите пределы последовательностей:
а)xn=5/n^2
б)zn=1/2n^3
в)yn=2n/n+1
г)yn=2n^2+3/n^2+1

Добрый день! Давайте рассмотрим каждую из этих последовательностей по отдельности и найдем их пределы.

а) Последовательность xn = 5/n^2. Чтобы найти предел этой последовательности, мы можем использовать правило о пределе суммы и разности последовательностей. Так как 5 - это константа, а n^2 - последовательность, предел которой можно найти, то предел xn можно найти как произведение константы 5 и предела 1/n^2.

Найдем предел последовательности 1/n^2. Как мы знаем, предел эта последовательности равен 0, так как знаменатель n^2 стремится к бесконечности при увеличении n.

Теперь, используя правило о пределе произведения константы и последовательности, мы можем сказать, что предел последовательности xn = 5/n^2 равен 5*0 = 0.

б) Последовательность zn = 1/2n^3. Аналогично предыдущей последовательности, мы можем найти предел zn, используя правило о пределе произведения константы и последовательности. Константа 1/2 и последовательность n^3 пределы имеют, поэтому предел zn можно найти как произведение константы 1/2 и предела 1/n^3.

Последовательность 1/n^3 имеет предел 0, так как знаменатель n^3 стремится к бесконечности. Таким образом, предел последовательности zn = 1/2n^3 равен 1/2 * 0 = 0.

в) Последовательность yn = 2n/n+1. Чтобы найти предел этой последовательности, мы можем воспользоваться правилом о пределе частного двух последовательностей. Нам необходимо найти предел числителя 2n и предел знаменателя n+1 отдельно.

Последовательность 2n имеет предел равный бесконечности, так как числитель стремится к бесконечности с ростом n.
Знаменатель n+1 имеет предел равный бесконечности, так как знаменатель также стремится к бесконечности с ростом n.

Используя правило о пределе частного двух последовательностей, мы можем сказать, что предел последовательности yn = 2n/n+1 равен бесконечность/бесконечность. Это неопределенная форма, и нам надо преобразовать ее так, чтобы получить точный ответ.

Разделим числитель и знаменатель на n, получим (2/n)/(1+1/n). Когда n стремится к бесконечности, выражение 2/n стремится к нулю, а выражение 1/n стремится к нулю. Таким образом, предел yn при n, стремящемся к бесконечности, равен 0/1 = 0.

г) Последовательность yn = (2n^2+3)/(n^2+1). Чтобы найти предел этой последовательности, снова воспользуемся правилом о пределе частного двух последовательностей. Нам необходимо найти предел числителя 2n^2+3 и предел знаменателя n^2+1 отдельно.

Последовательность 2n^2+3 имеет предел равный бесконечности, так как числитель стремится к бесконечности с ростом n.
Знаменатель n^2+1 имеет предел равный бесконечности, так как знаменатель также стремится к бесконечности с ростом n.

Используя правило о пределе частного двух последовательностей, мы можем сказать, что предел последовательности yn = (2n^2+3)/(n^2+1) равен бесконечность/бесконечность. Снова, это неопределенная форма, и нам нужно преобразовать ее, чтобы получить точный ответ.

Разделим числитель и знаменатель на n^2, получим (2+3/n^2)/(1+1/n^2). Когда n стремится к бесконечности, выражение 3/n^2 стремится к нулю, а выражение 1/n^2 также стремится к нулю. Таким образом, предел yn при n, стремящемся к бесконечности, равен (2+0)/(1+0) = 2/1 = 2.

Надеюсь, ответы были понятны и обоснованы достаточно подробно для того, чтобы школьнику было понятно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!