Найдите площадь полной поверхности цилиндра если диагональ его осевого сечения равна 10√2см, составляет с образующей угол 45°

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте вспомним, что такое полная поверхность цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности.

Первым шагом нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого нам понадобится знать длину образующей и угол, который она образует с осью цилиндра.

В данной задаче известно, что длина диагонали осевого сечения равна 10√2 см, а эта диагональ составляет угол 45° с образующей.

Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти высоту цилиндра. Для этого нам нужно найти длину образующей основания прямоугольного треугольника.

Длина образующей можно найти с помощью теоремы Пифагора: a² + b² = c², где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза.

В нашем случае, катеты a и b равны длине образующей и высоте цилиндра (h). Гипотенуза c равна длине диагонали осевого сечения.

Таким образом, получаем: образующая² + h² = (10√2)².

Обращаемся к тригонометрии. Косинус угла равен отношению катета прилежащего к гипотенузе и гипотенузе. В нашей задаче этот катет и есть высота цилиндра.

cos(45°) = h / длина диагонали осевого сечения = h / (10√2).

Подставляем значение косинуса 45°: √2/2 = h / (10√2).

Приводим подобные:
2h = 10√2 * (√2 / 2).

Упрощаем:
2h = 5 * 2.
h = 5.

Итак, мы нашли высоту цилиндра - она равна 5 см.

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно найти площадь его двух оснований и боковой поверхности.

Площадь основания цилиндра равна площади круга, которая вычисляется по формуле S = πr², где r - радиус основания цилиндра.

В данной задаче радиуса нам не дано, но мы можем рассчитать его, зная длину образующей и высоту цилиндра.

Мы можем использовать теорему Пифагора, как в предыдущем шаге, чтобы найти радиус основания. В этом случае гипотенузой будет являться образующая цилиндра, а катетами - радиус и высота цилиндра.

Таким образом, получаем: радиус² + 5² = (10√2)².

Получаем: радиус² + 25 = 200.

Радиус² = 200 - 25 = 175.

Теперь найдем площадь основания цилиндра:

S₁ = π * радиус².

S₁ = π * 175.

Далее найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а стороны прямоугольника равны периметру основания цилиндра.

Периметр основания цилиндра вычисляется по формуле P = 2πr.

Таким образом, площадь боковой поверхности равна S₂ = P * h = 2πr * h.

Заменяем значения: S₂ = 2π * радиус * 5.

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности цилиндра:

S = 2S₁ + S₂.

S = 2 * (π * 175) + (2 * π * радиус * 5).

S = 2π * 175 + 10π * радиус.

Итак, получаем площадь полной поверхности цилиндра, используя найденные значения радиуса и высоты цилиндра, а также значение числа π.