Найдите площадь фигуры(предварительно сделайте рисунок) ограниченной
а) графиком функции у=4х-х^2
б) y=4х-х^2, осью ординат и прямой у=4
в)у=соs х, осью абцисс и прямыми х=пи/6,х=пи/3
г) у=х^2 и у=4х-3х2

Добрый день! Конечно, я с удовольствием помогу вам разобраться с этим вопросом. Давайте решим задачу по очереди.

а) Для начала нарисуем график функции y = 4x - x^2. Для этого построим таблицу значений и отметим соответствующие точки на координатной плоскости. Построенный график будет иметь форму параболы, которая открывается вниз.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4x - x^2, необходимо найти интеграл от этой функции на заданном интервале.

Для нахождения площади воспользуемся следующей формулой для площади под графиком функции на интервале [a, b]:

S = ∫[a, b] f(x) dx,

где f(x) - функция, а [a, b] - интервал.

В данном случае, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4x - x^2. То есть мы должны вычислить площадь между этой функцией и осью абсцисс.

Чтобы найти границы интегрирования, необходимо выяснить, при каких значениях x график функции пересекает ось абсцисс. Решим уравнение 4x - x^2 = 0:

x(4 - x) = 0.

Отсюда получаем два решения: x = 0 и x = 4.

Таким образом, границы интегрирования будут [0, 4].

Теперь вычислим интеграл от функции y = 4x - x^2 на интервале от 0 до 4:

S = ∫[0, 4] (4x - x^2) dx.

Для нахождения интеграла от функции необходимо произвести интегрирование. Сначала разложим функцию на множители:

S = ∫[0, 4] 4x - x^2 dx = 4∫[0, 4] x dx - ∫[0, 4] x^2 dx.

Вычислим каждый из интегралов по отдельности.

1) 4∫[0, 4] x dx:

Интеграл от x по x равен (1/2)x^2. Подставим границы интегрирования:

4∫[0, 4] x dx = 4 * (1/2)(4)^2 - 4 * (1/2)(0)^2 = 4 * (1/2)(16 - 0) = 4 * (1/2)(16) = 32.

2) ∫[0, 4] x^2 dx:

Интеграл от x^2 по x равен (1/3)x^3. Подставим границы интегрирования:

∫[0, 4] x^2 dx = (1/3)(4)^3 - (1/3)(0)^3 = (1/3)(64 - 0) = (1/3)(64) = 64/3.

Теперь найдем разность этих двух интегралов:

S = 32 - 64/3.

Для удобства, приведем все дробные значения к общему знаменателю:

S = (96/3 - 64/3) /3 = (32/3) / 3 = 32/9.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4x - x^2, равна 32/9.

(Продолжение в следующем ответе)