Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-x, y=-x^2+3x решите до среды)

-x²+2x+3=0

-x²-x+3x+3=0

-x(x+1)+3(x+1)=0

-(x-3)(x+1)=0

x=3 ∨ x=-1

 

Добрый день!

Спасибо за ваш вопрос. Давайте вместе решим задачу по нахождению площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2-x и y=-x^2+3x. Для начала, нам нужно понять, как выглядят эти две функции на графике.

Функция y=x^2-x представляет собой параболу, которая направлена вверх, а функция y=-x^2+3x - параболу, направленную вниз. Давайте нарисуем графики описанных функций на координатной плоскости, чтобы лучше понять форму фигуры.

(Рисуется график, на котором видно, как пересекаются две параболы и образуют ограниченную фигуру)

Теперь, когда мы видим графики этих функций, нам нужно найти точки пересечения двух парабол. Из уравнений y=x^2-x и y=-x^2+3x получаем:

x^2 - x = -x^2 + 3x

Перенесём все члены уравнения в одну сторону и получим квадратное уравнение:

x^2 + x - 3x = 0

x^2 - 2x = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

x(x - 2) = 0

Таким образом, имеем два корня: x = 0 и x = 2. Эти две точки представляют места пересечения наших функций.

Теперь мы можем найти площадь этой фигуры, используя определенный метод, называемый определенным интегралом. Наша фигура ограничена линиями y=x^2-x и y=-x^2+3x, а x-координаты точек пересечения - это 0 и 2.

Итак, площадь фигуры можно рассчитать следующим образом:

∫[0,2] (x^2-x) - (-x^2+3x) dx

Проанализируем данное выражение более подробно. ∫ обозначает интеграл, а [0,2] - пределы интегрирования (от 0 до 2). (x^2-x) - (-x^2+3x) - это разность функций, задающих верхнюю и нижнюю границы фигуры по оси y. dx - это дифференциал x, который указывает, что мы интегрируем по переменной x.

Теперь найдем значение этого интеграла:

∫[0,2] (x^2-x) - (-x^2+3x) dx = ∫[0,2] (2x^2 - 4x) dx

= [2/3x^3 - 2x^2] от 0 до 2

Теперь подставим пределы интегрирования:

[2/3 * 2^3 - 2 * 2^2] - [2/3 * 0^3 - 2 * 0^2]

= [2/3 * 8 - 2 * 4] - [0 - 0]

= (16/3 - 8) - 0

= (16 - 24/3)/3

= (16/3 - 8/3)

= 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-x и y=-x^2+3x, равна 8/3.

Я надеюсь, что это понятно. Если возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!