Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y^2=9x и прямыми x=1 и x=9 ; y=0

Конечно, я могу помочь! Давайте решать эту задачу шаг за шагом.

1. Сначала взглянем на график уравнения y^2 = 9x. Мы видим, что это парабола, открытая вправо, с вершиной в начале координат (0,0) и суть говоря, состоит из двух ветвей.

2. Далее, посмотрим на прямые x = 1 и x = 9, которые параллельны оси y и идут вдоль оси x. В нашем случае они будут горизонтальными прямыми, так как значение y не меняется.

3. Теперь наше задание состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями и параболой. Мы можем сделать это, разбивая фигуру на две части и находя площадь каждой из них.

4. Начнем с первой части, которая находится между параболой и прямой x = 1. Чтобы найти эту площадь, мы должны определить, в каких точках парабола и прямая пересекаются. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

y^2 = 9x и x = 1

Подставляя x = 1 в уравнение параболы, получим:

y^2 = 9

Из этого уравнения мы видим, что y равно 3 или -3. То есть, парабола пересекает прямую x = 1 в точках (1, 3) и (1, -3).

5. Теперь мы знаем, что парабола пересекает вертикальную линию x = 1 в двух точках. Чтобы найти площадь фигуры между параболой и прямой x = 1, мы можем использовать интеграл.

Площадь первой части фигуры равна интегралу от y1 = -3 до y2 = 3 функции x = 1 по y:

∫(y1, y2) dx = ∫(y1, y2) 1 dy

Подставляем значения y1 = -3 и y2 = 3:

∫(-3, 3) 1 dy = y ∣ (-3, 3) = 3 - (-3) = 6.

Получается, площадь первой части фигуры равна 6.

6. Теперь перейдем ко второй части фигуры, которая ограничена параболой и прямой x = 9. Аналогично первой части, нам нужно найти точки пересечения параболы и прямой.

y^2 = 9x и x = 9

Подставляя x = 9 в уравнение параболы, получим:

y^2 = 81

Из этого уравнения мы видим, что y равно 9 или -9. Значит, парабола пересекает прямую x = 9 в точках (9, 9) и (9, -9).

7. Теперь мы знаем, что парабола пересекает вертикальную линию x = 9 в двух точках. Чтобы найти площадь фигуры между параболой и прямой x = 9, мы снова можем использовать интеграл.

Площадь второй части фигуры равна интегралу от y1 = -9 до y2 = 9 функции x = 9 по y:

∫(y1, y2) dx = ∫(y1, y2) 1 dy

Подставляем значения y1 = -9 и y2 = 9:

∫(-9, 9) 1 dy = y ∣ (-9, 9) = 9 - (-9) = 18.

Получается, площадь второй части фигуры равна 18.

8. Итак, чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной линиями y^2 = 9x и прямыми x = 1 и x = 9; y = 0 , мы должны сложить площади обеих частей:

Общая площадь = площадь первой части + площадь второй части
= 6 + 18
= 24.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y^2 = 9x и прямыми x = 1 и x = 9; y = 0, равна 24 квадратным единицам.