Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^2 -x и осью абсцисс

Ответы

DarinaLove11 08.07.2020 07:47

$y=x^2-x=x(x-1) \\ 
x=0 \\ \\ 
 \int\limits^1_0 {(x-x^2)} \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} |^1_0=
(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3})-(\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3})= \\ \\ 
=\frac{1}{2} - \frac{1}{3}= \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} =0,16667$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

evtubori 21.01.2024 14:50

Добрый день! Рад, что вы обратились за помощью. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^2 -x и осью абсцисс, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

Первым шагом будет найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого приравняем уравнение функции к нулю и решим его:
x^2 - x = 0

Если вы знакомы с факторизацией, то можете разложить это уравнение:
x(x - 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = 1.

Теперь, для нахождения площади фигуры, мы должны взять определенный интеграл от функции y=x^2 -x на отрезке между найденными точками пересечения.

Интеграл от y=x^2 -x на отрезке [0, 1] можно записать следующим образом:
∫[0,1] (x^2 - x) dx

Чтобы решить этот интеграл, мы можем сначала разбить его на два отдельных интеграла:
∫[0,1] (x^2) dx - ∫[0,1] (x) dx

Затем, найдя значения каждого интеграла, мы сможем вычислить их разность и найти площадь фигуры.

Решим первый интеграл:
∫[0,1] (x^2) dx

Чтобы интегрировать это выражение, мы будем использовать правило степенной функции интегрирования. Для данного выражения это правило будет следующим:
∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)

Применяем это правило к первому интегралу:
∫[0,1] (x^2) dx = (x^(2+1))/(2+1) = x^3/3

Теперь решим второй интеграл:
∫[0,1] (x) dx

Это интеграл простой линейной функции. Применяем правило интегрирования для линейных функций:
∫(ax + b) dx = (a/2)x^2 + bx

Применяем это правило к второму интегралу:
∫[0,1] (x) dx = (1/2)x^2

Теперь, найдя значения обоих интегралов на отрезке [0,1] и вычислив их разницу, мы найдем искомую площадь фигуры:
∫[0,1] (x^2 - x) dx = (∫[0,1] (x^2) dx) - (∫[0,1] (x) dx) = (x^3/3)|[0,1] - (1/2)x^2|[0,1]

Подставим значения верхних и нижних пределов интегрирования:
[(1^3/3) - (0^3/3)] - [(1/2)(1^2) - (1/2)(0^2)]

Упростим выражение:
(1/3) - (0/3) - (1/2) + (0/2) = 1/3 - 1/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^2 -x и осью абсцисс, равна 1/3 - 1/2.
Данное значение можно упростить:
1/3 - 1/2 = (2/6) - (3/6) = -1/6.

Таким образом, площадь этой фигуры равна -1/6 или, в числовой форме, приближенно -0.167.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика