Найдите остаток при делении 2^100
1) на 7
2) на 11
3) на 13

1) 2 2) 1 3) 3

Пошаговое объяснение:

Проверенно в Сириусе

Друг мой, я с радостью помогу тебе решить эту задачу!
Чтобы найти остаток от деления числа на другое, мы можем использовать свойство остатка от деления, которое говорит нам о том, что остаток от деления суммы двух чисел равен остатку от деления каждого из этих чисел по отдельности.

Таким образом, для того чтобы найти остаток от деления 2^100 на число, мы можем воспользоваться этим свойством и посчитать поочередно остатки от деления числа 2^1, 2^2, 2^3, ..., 2^100 на данное число.

Начнем с первого вопроса, где нам нужно найти остаток от деления числа 2^100 на 7. Чтобы это сделать, мы можем применить метод повторного возведения в квадрат.

2^1 ≡ 2 (mod 7)
2^2 ≡ 4 (mod 7)
2^3 ≡ 8 (mod 7), и так далее.

Мы замечаем, что каждая следующая степень двойки будет меньше предыдущей степени. Поэтому мы можем использовать это свойство и находить остатки от деления сразу же в процессе возведения в степень.

2^1 ≡ 2 (mod 7)
2^2 ≡ 2 * 2 ≡ 4 (mod 7)
2^3 ≡ 2 * 4 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)
2^4 ≡ 2 * 1 ≡ 2 (mod 7)
2^5 ≡ 2 * 2 ≡ 4 (mod 7)
и так далее.

Мы замечаем, что остатки начинают повторяться, поскольку одинаковые остатки приводят к одинаковым остаткам при последующих возведениях в степень. Теперь мы можем использовать эту периодичность, чтобы найти остаток от деления 2^100 на 7.

Так как остатки повторяются с периодом 4 (2, 4, 1, 2, ...), мы можем рассмотреть деление степени 100 на период 4:

100 ÷ 4 = 25 с остатком 0.

Это означает, что остаток от деления 2^100 на 7 будет такой же, как остаток от деления 2^0 на 7, то есть 1.

Таким образом, остаток от деления 2^100 на 7 равен 1.

Теперь рассмотрим второй вопрос, который требует найти остаток от деления 2^100 на 11. Мы можем применить тот же метод, что и в предыдущем случае.

2^1 ≡ 2 (mod 11)
2^2 ≡ 2 * 2 ≡ 4 (mod 11)
2^3 ≡ 2 * 4 ≡ 8 (mod 11)
2^4 ≡ 2 * 8 ≡ 16 ≡ 5 (mod 11)
и так далее.

Мы замечаем, что остатки также повторяются, но с периодом 10 (2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1, 2, ...). Так же, как в предыдущем случае, мы можем рассмотреть деление степени 100 на период 10:

100 ÷ 10 = 10 с остатком 0.

Это означает, что остаток от деления 2^100 на 11 будет такой же, как остаток от деления 2^0 на 11, то есть 1.

Таким образом, остаток от деления 2^100 на 11 равен 1.

Наконец, рассмотрим третий вопрос, в котором нам нужно найти остаток от деления 2^100 на 13. Мы можем использовать тот же метод, что и в предыдущих случаях.

2^1 ≡ 2 (mod 13)
2^2 ≡ 4 (mod 13)
2^3 ≡ 8 (mod 13)
2^4 ≡ 16 ≡ 3 (mod 13)
и так далее.

Мы замечаем, что остатки также повторяются, но с периодом 12 (2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1, 2, ...). Так же как в предыдущих примерах, мы можем рассмотреть деление степени 100 на период 12:

100 ÷ 12 = 8 с остатком 4.

Это означает, что остаток от деления 2^100 на 13 будет такой же, как остаток от деления 2^4 на 13, то есть 3.

Таким образом, остаток от деления 2^100 на 13 равен 3.

Теперь у нас есть ответы на все три вопроса:

1) Остаток от деления 2^100 на 7 равен 1.
2) Остаток от деления 2^100 на 11 равен 1.
3) Остаток от деления 2^100 на 13 равен 3.

Я надеюсь, что я смог объяснить тебе эту задачу достаточно понятно! Если у тебя остались еще вопросы, не стесняйся задавать их мне.