Найдите общий вид первообразных для функций
F(x) =x^3+sinx
, экзамен)

Для нахождения общего вида первообразных функции F(x) = x^3 + sin(x), мы должны найти функцию, производная которой равна данной функции.

Шаг 1: Найдем первообразную для каждого слагаемого функции F(x).
a) Для слагаемого x^3, мы знаем, что производная функции x^n равна (n+1)*x^(n-1). Это означает, что первообразная для x^3 будет (1/4)x^4, так как (3+1)*x^(3-1) = 4*x^2.

b) Для слагаемого sin(x), мы знаем, что производная функции sin(x) равна cos(x). Это означает, что первообразная для sin(x) будет -cos(x), так как производная cos(x) равна -sin(x).

Итак, первообразная для функции F(x) = x^3 + sin(x) будет: F(x) = (1/4)x^4 - cos(x) + C, где С - произвольная постоянная.

Обоснование:
Мы используем теорему о первообразной функции, которая гласит, что если функция F(x) является первообразной функции f(x), то F(x) + C также будет первообразной для f(x), где С - произвольная постоянная. Таким образом, любая функция вида (1/4)x^4 - cos(x) + C, где С - произвольная постоянная, является первообразной для функции F(x) = x^3 + sin(x).

Постепенное решение:
Шаг 1: Найдите первообразную для слагаемого x^3:
Используем формулу для первообразной функции степенной функции x^n: (1/(n+1))x^(n+1)
Таким образом, первообразная для x^3 будет (1/4)x^4.

Шаг 2: Найдите первообразную для слагаемого sin(x):
Используем тот факт, что первообразная для sin(x) равна -cos(x).
Таким образом, первообразная для sin(x) будет -cos(x).

Шаг 3: Сложите оба слагаемых:
(1/4)x^4 - cos(x)

Шаг 4: Добавьте произвольную постоянную С:
(1/4)x^4 - cos(x) + C

Таким образом, общий вид первообразных для функции F(x) = x^3 + sin(x) будет F(x) = (1/4)x^4 - cos(x) + C, где С - произвольная постоянная.