Найдите общий вид первообразной для f(x) = 2x^2 +3/x^4+√x+2 на (0;+бесконечность)

Чтобы найти общий вид первообразной для функции f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2 на интервале (0; +бесконечность), мы должны воспользоваться определением первообразной и соответствующими правилами интегрирования.

Для начала разобьем функцию на несколько частей, так как каждое слагаемое будет интегрироваться по отдельности:

f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2

Интегрируем первое слагаемое 2x^2 по отдельности:

∫(2x^2) dx

Чтобы интегрировать это выражение, мы будем использовать правило степенной функции для интеграла:

∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)

Применяя это правило, получим:

∫(2x^2) dx = (2 * (x^(2+1)) / (2+1)

Упрощая выражение, получаем:

∫(2x^2) dx = (2/3) * x^3

Затем интегрируем второе слагаемое 3/x^4. Для этого используем правило для интеграла x^n:

∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)

Применяя это правило, получаем:

∫(3/x^4) dx = 3 * (x^(-4+1))/(-4+1)

Упрощаем выражение:

∫(3/x^4) dx = -3/4 * x^(-3)

Теперь интегрируем третье слагаемое √x. Для этого используем формулу:

∫√x dx = (2/3) * x^(3/2)

И, наконец, интегрируем последнее слагаемое 2. Это константа, поэтому:

∫2 dx = 2x

Теперь объединим все полученные результаты:

Итак, общий вид первообразной для функции f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2 на интервале (0; +бесконечность) будет:

F(x) = (2/3) * x^3 - 3/4 * x^(-3) + (2/3) * x^(3/2) + 2x + C

где C - произвольная постоянная, которую необходимо добавить при интегрировании.