Найдите область сходимости ряда.
Буду всем сердцем благодарна тому, кто сможет это решить!)


Найдите область сходимости ряда. Буду всем сердцем благодарна тому, кто сможет это решить!)

kasha13 kasha13    2   02.04.2021 19:48    0

Ответы
Діанка465 Діанка465  02.05.2021 19:51

Пошаговое объяснение:

это степенной ряд. запишем его в общем виде

\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5*7^n} x^n

областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где R - радиус сходимости и равен

\displaystyle R = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}

посчитаем этот предел

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg (\frac{7*7^n(n+1)^5}{7^nn^5} \bigg )=7

таким образом, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-7;7)

теперь посмотрим сходимость ряда на концах этого интервала.

пусть х = -7, тогда мы получим ряд    \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^5}, это числовой знакочередующийся ряд

надо исследовать его на сходимость. исследуем по признаку Лейбница

а) по первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего

\displaystyle 1\frac{1}{32} \frac{1}{243}   - выполняется

б) по второму признаку Лейбница предел ряда по модулю должен стремится к 0

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} =0 выполняется

т.е. ряд сходится x = -7 - точка сходимости

теперь пусть х = 7

тогда всё просто, как в первом случае, только ряд не знакочередующийся. он сходится x = 7 - точка сходимости

и вот получаем,

данный степенной ряд является сходящимся на интервале  [-7;7]

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика