Найдите найдите число корней уравнения x^3+x^2-x=p при всех значениях параметра p.

Найдем производную функции у=х^3+х^2-х-р, у'=3х^2+2х-1. В точках, в которых производная равна нулю, функция имеет точки перегиба. Решив 3х^2+2х-1=0 находим х1=-1, х2=1/3. На промежутке х<-1 и х>1/3 функция возрастает (производная больше нуля), при -1<х<1/3 функция убывает (производная меньше нуля). В точках перегиба функция имеет значения (1-р) при х=-1 и (5/27-р) при х=1/3. Корни уравнения х^3+х^2-х=р это х, при которых функция у=х^3+х^2-х-р пересекает ось Ох. Учитывая характер функции (возрастает-убывает-возрастает) и рассмотрев схематичный график (точки перегиба и значения в них см выше, рисовать удобно при р=0) видим, что может быть 1, 2 или 3 точки пересечения. Если в точках перегиба значение функции равно нулю, то есть р=1 или р=5/27, то корней по два. Если р>1 или р<5/27, то корень один. Если 5/27<р<1, то корней три. ответ: при р<5/27 корней 1, при р=5/27 корней 2, при 5/27<р<1 корней 3, при р=1 корней 2, при р>1 корень 1.