Вообще, уравнение проще решить графическим но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать. Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее. Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций. /Замена / = /Замена / => => В случае, если то уравнение имеет решение. => При ; То есть при, решений нет. Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число =>
=> => => При этом должно выполняться неравенство , иначе корней нет. Пометим это выражение (1*)
Решения есть, если
=> , где k принадлежит Z => => => Поскольку мы ищем наименьший корень, то что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значение Выражение должно быть наименьшим => Выражениедолжно быть наименьшим => Выражениедолжно быть наименьшим /Замена k=4U-3/ Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было => Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0 => => Поскольку у нас ограничения для , то минимальное значение будет достигаться при U=3/2; Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению : => - это следует из условий задачи => k=1 => (11) Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0. Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 => => =>
Теперь определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2: = /Для упрощения оценки допустим, что арксинус достигает своего максимального значения = , / = Следовательно x=2 - это минимальный корень из всех возможных. ответ: x=2
Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4}[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачи
Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее.
Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций.
=
=>
=>
В случае, если
=> При
То есть при
Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число =>
=>
=>
=>
При этом должно выполняться неравенство
Решения есть, если
=>
=>
=>
=>
Поскольку мы ищем наименьший корень, то что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значение
Выражение
=> Выражение
=> Выражение
Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было
=> Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0
=>
=>
Поскольку у нас ограничения для
Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению :
=>
=> k=1 =>
Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0.
Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 =>
=>
=>
Теперь определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2:
=
/Для упрощения оценки допустим, что арксинус достигает своего максимального значения =
=
Следовательно x=2 - это минимальный корень из всех возможных.
ответ: x=2
Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем
Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4}[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачи