Найдите наименьшее натуральное число n, для которого произведение (n+1)(n+2)(n+3) делится на 300.​

1. 2 т.к. 1+2=3 2. 1 т.к. 1+2=3 3. 0 т.к. 3+0=3

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать принципы делителей чисел и знание о простых числах.

Для начала, давайте рассмотрим число 300 и его разложение на простые множители. Чтобы разложить число на множители, мы будем последовательно делить его на все простые числа, начиная с 2, пока число не станет равным 1.

300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5

Итак, у нас есть разложение числа 300 на простые числа. Теперь, нам нужно понять, как значения (n+1), (n+2) и (n+3) могут влиять на деление на 300.

Давайте рассмотрим значения (n+1), (n+2) и (n+3) по очереди и проверим, какие простые множители они содержат:
- Если (n+1) является четным числом, то оно будет делиться на 2.
- Если (n+2) является четным числом, то оно также будет делиться на 2.
- Если (n+3) является четным числом, то оно также будет делиться на 2.

Также, мы заметим, что если (n+1) делится на 3, то и (n+4) также будет делиться на 3.

Теперь, нам нужно учесть все эти особенности и определить, какое наименьшее натуральное число n обеспечит деление произведения (n+1)(n+2)(n+3) на 300.

Из приведенного разложения числа 300, мы видим, что в этом числе есть два простых множителя, которые повторяются: 2 и 5. Нам потребуется обеспечить наличие хотя бы двух двоек и одной пятерки в произведении (n+1)(n+2)(n+3).

Предположим, что (n+1) делится на 2, (n+2) делится на 2, а (n+3) делится на 5. Исходя из этого, мы можем предположить, что n+3 = 5k, где k - целое число.

Теперь, нам нужно учесть условия, чтобы нам также удовлетворялись деления (n+1) и (n+2) на 5. Для этого нам нужно определить, при каких значениях k числа (n+1) и (n+2) также будут делиться на 5.

Если (n+3) делится на 5, то (n+1) делится на 5 при условии, что (n+1) = 5m + 4, где m - целое число.

Также, если (n+3) делится на 5, то (n+2) делится на 5 при условии, что (n+2) = 5j + 3, где j - целое число.

Объединяя все эти условия, мы получаем систему уравнений:

n + 3 = 5k
n + 1 = 5m + 4
n + 2 = 5j + 3

Теперь, нам нужно найти наименьшие значения n, k, m и j, которые выполняют все эти условия.

Давайте рассмотрим значения k сначала. Для значения k = 1, мы видим, что n + 3 = 5, что дает нам n = 2.

Теперь, проверим значения m и j для n = 2. Для n = 2, мы видим, что m = 0 и j = 0 удовлетворяют условиям.

Таким образом, при n = 2 мы получаем (n+1)(n+2)(n+3) = (2+1)(2+2)(2+3) = 3×4×5 = 60, что делится на 300.

Поэтому, наименьшее натуральное число n, при котором данное произведение делится на 300, равно 2.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение было понятным и полезным для вас, и вы смогли понять, как мы пришли к ответу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.